Análise Combinatória

Confira aqui um super resumo, simples e objetivo, sobre Análise Combinatória, conteúdo muito explorado em concursos públicos.

Por ser muito extenso, no decorrer do texto existem links para posts específicos sobre cada um dos assuntos.

Bom estudo!

Introdução

A Análise Combinatória é a parte da matemática que estuda a contagem de elementos, possibilidades e combinações de determinados conjuntos. Vejamos um exemplo onde utilizamos tais conceitos:

Exemplo 1. Juliete vai a uma festa e está em dúvida entre duas calças (azul ou vermelha) e três blusas (amarela, preta ou branca). De quantos modos distintos Juliete pode se vestir?

Temos as seguintes opções:

– calça azul e blusa amarela;

– calça azul e blusa preta;

– calça azul e blusa branca;

– calça vermelha e blusa amarela;

– calça vermelha e blusa preta;

– calça vermelha e blusa branca;

Assim, para calcularmos a quantidade de possibilidades que Juliete tem, basta multiplicarmos 2 x 3 = 6 possibilidades.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Na análise combinatória, este princípio generaliza o exemplo acima. Sempre que tivermos uma ação constituída de duas etapas, onde a primeira possui m possibilidades e a segunda possui n possibilidades, o número total de possibilidades será m x n. Veja alguns exemplos:

Exemplo 2. Existem 4 estradas ligando as cidades de Linhares e Colatina e 3 estradas ligando Colatina e Vitoria. De quantas maneiras diferentes é possível ir de Linhares a Vitória, passando por Colatina?

Temos:

4 caminhos diferentes para o percurso Linhares x Colatina.

3 caminhos diferentes para o percurso Colatina x Vitória

Pelo PFC temos 4 x 3 = 12

Ou seja, temos 12 caminhos distintos para o percurso Linhares x Vitória.

Exemplo 3. Jennifer possui 6 blusas, 4 saias e 3 sandálias. Quantas combinações diferentes ela pode fazer?

Pelo PFC temos 6 x 4 x 3 = 72

Daí, Jennifer pode se vestir de 72 jeitos diferentes.

Caso queira estudar mais sobre o PFC, clique nos links abaixo:

Princípio Fundamental da Contagem

Exercícios resolvidos sobre o PFC

Fatorial de um número natural

Sendo “n” um número natural, definimos o fatorial de “n”, simbolizado por “n!”, da seguinte forma:

a) 0! = 1

b) 1! = 1

c) n! = n . (n-1) … 3 . 2 . 1 (n diferente de 0 e 1)

Exemplo 4:

4! = 4.3.2.1 = 24

Exemplo 5:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Clique nos links abaixo para saber mais sobre o fatorial:

Fatorial de um número natural

Exercícios resolvidos sobre fatorial

Arranjos

Na análise combinatória, arranjos são agrupamentos dos elementos de um conjunto finito, onde a ordem faz toda a diferença. Veja o exemplo:

Exemplo 6. Seja o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, vamos listar todos os pontos cartesianos que podem ser formados a partir deste conjunto. Veja:

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5);

(2, 1); (2, 3); (2, 4); (2, 5);

(3, 1); (3, 2); (3, 4); (3, 5);

(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 5);

(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4).

Note que temos um conjunto com 5 elementos, que serão tomados dois a dois, e sabendo que a ordem faz toda a diferença, ou seja, estamos considerando (1, 2) diferente de (2, 1). Neste caso podemos calcular o número de arranjos da seguinte forma:

analise combinatória

Generalizando, para um arranjo de n elementos, tomados k a k, temos que:

formula arranjo simples

Para saber mais sobre os arranjos clique nos links abaixo:

Arranjo simples

Arranjos com repetição

Exercícios resolvidos sobre arranjos

Permutações

Na análise combinatória, denominamos permutação de n elementos a todo arranjo de n elementos, tomados n a n.

Temos dois casos a considerar:

  • Todos os elementos do conjunto são distintos
  • Existem elementos repetidos no conjunto

Vamos estudar cada um deles.

  • De elementos distintos

Quando temos uma permutação de elementos distintos, podemos calcular a quantidade de permutações através da seguinte fórmula:

formula permutacao simples analise combinatoria

Exemplo 7. Vamos escrever todos os anagramas que podem ser escritos pelas letras ABC:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Note que o exemplo foi escolhido devido a simplicidade. Em casos mais complexos é inviável listar todas as possibilidades.

Vamos utilizar a fórmula para calcular a quantidade de permutações das letras ABC:

Pn = n!

P3 = 3!

P3 = 3.2.1

P3 = 6

  • Com elementos repetidos

Quando temos uma permutação com elementos distintos, onde cada uma das repetições acontece na quantidade n1, n2, …, nt, podemos calcular a quantidade de permutações através da seguinte fórmula:

formula permutacao com elementos repetidos

Exemplo 8. Vamos escrever todos os anagramas que podem ser escritos pelas letras da palavra CAPA:

CAPA, CAAP, CPAA, ACPA, APCA, APAC, ACAP, AACP, AAPC, PCAA, PACA, PAAC

Note que listamos 12 anagramas. Se todas as letras fossem distintas listaríamos 24. A diminuição deve-se ao fato da letra A aparecer duas vezes.

Exemplo 9. Quantidade de anagramas que podem ser formados a partir da palavra SOSSEGADO:

Devemos observar que a letra S aparece 3 vezes e a letra O aparece duas vezes.

P9 = 9! / 3!.2! = 30240

Para saber mais sobre permutações e anagramas clique nos links abaixo:

Permutação de elementos distintos

Anagramas

Exercícios resolvidos sobre anagramas

Combinações

Na análise combinatória, combinações são agrupamentos dos elementos de um conjunto finito com n elementos, tomados k a k, onde a ordem é irrelevante.

Podemos calcular a quantidade de combinações através da seguinte fórmula:

formula combinacoes analise combinatoria

Exemplo 10. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, vamos listar todos os subconjuntos formados por 2 elementos de A:

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5); (4, 5).

Note que estamos considerando (1, 2) igual a (2, 1). Neste caso, o número de combinações será calculado da seguinte forma:

Clique nos links abaixo para saber mais sobre as combinações:

Combinações

Exercícios resolvidos sobre combinações

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Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha no BB há 15 anos e atua como professor de matemática nas horas vagas.

One comment

  1. victor barbosa

    Obrigado!
    Excelente material. Consegui enender melhor por aqui.
    até.

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