Anagramas

Dando continuidade ao estudo da Análise Combinatória, vamos aprender a calcular a quantidade de anagramas de palavras.

Pede-se que o aluno tenha conhecimentos acerca do fatorial de um número natural e do Princípio Fundamental da Contagem.

Bom estudo!

Definição

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra é calcular quantas “palavras”, com ou sem sentido, podemos escrever com as letras utilizadas para escrevê-la.

Como exemplo, podemos listar os 6 anagramas da palavra GOL.

Exemplo 1. Anagramas da palavra GOL:

GOL, GLO, OGL, OLG, LGO, LOG

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com apenas 3 letras é muito fácil. Vamos agora aprender um método simples e viável para o caso de palavras com muitas letras.

Temos dois casos a considerar:

  1. Palavras com letras diferentes
  2. Palavras com letras repetidas

Anagramas de palavras com letras diferentes

Para calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com letras diferentes, basta utilizarmos o princípio fundamental da contagem. Veja o exemplo:

Exemplo 2. Calcular a quantidade de anagramas da palavra LIVRO:

Precisamos utilizar as 5 letras para escrevermos várias “palavras” diferentes:

_  _  _  _  _

Temos:

5 opções para a primeira posição

4 opções para a segunda posição

3 opções para a terceira posição

2 opções para a quarta posição

1 opção para a última posição

Ou seja, a quantidade de anagramas da palavra LIVRO é:

5.4.3.2.1 = 120

O fato da quantidade de anagramas de uma palavra com 5 letras distintas ser igual a 5! não é coincidência. Para calcularmos a quantidade de anagramas de uma palavra com letras distintas, basta calcularmos o fatorial do número que representa a quantidade de letras.

Exemplo 3. Quantidade de anagramas da palavra AMOR:

4! = 4.3.2.1 = 24

Exemplo 4. Quantidade de anagramas da palavra MULHER:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exemplo 5. Quantidade de anagramas da palavra FUTEBOL:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

Anagramas de palavras com letras repetidas

Agora que já aprendemos a calcular a quantidade de anagramas com letras distintas, vamos aprender a calcular quando a palavra apresenta letras repetidas. O cálculo é muito simples, basta contar a quantidade de repetições.

Veja o exemplo:

Exemplo 6. Calcular a quantidade de anagramas da palavra JABUTICABA.

Temos 10 letras. Se todas fossem diferentes, a quantidade de anagramas seria igual a 10!. Mas não é tão simples assim pois temos algumas repetições:

  • A letra A aparece 3 vezes
  • A letra B aparece 2 vezes

Devemos descontar as repetições para que a contagem dos anagramas seja feita da forma correta. Para que isto seja feito, vamos dividir o 10! pelo fatorial de cada uma das repetições. Veja:

como calcular anagramas exemplo

Veja que:

10! – representa a quantidade total de palavras

3! – representa a quantidade de vezes que a letra A aparece

2! – representa a quantidade de vezes que a letra B aparece

Exemplo 7. Calcular a quantidade de anagramas da palavra MATEMATICA.

Temos:

Quantidade de letras: 10

Quantidade de vezes que a letra M aparece: 2

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

Quantidade de vezes que a letra T aparece: 2

Calculando:

anagramas calcular

Exemplo 8. Calcular a quantidade de anagramas da palavra ABACATE.

Temos:

Quantidade de letras: 7

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

Calculando:

anagramas exemplos

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

11 comments

  1. Maria Neiva dos Santos

    Bom dia! No exemplo 7, não entendi como é realizado o calculo dos denominadores.
    Neiva

  2. Obrigada pela explicação, ajudou bastante!!! 🙂

  3. Como fazer a seguinte questao.
    Todos os Anagrama possiveis da palavra CANTAGALO
    Qual a probabilidade de eu tirar ao acaso os anagramas iniciados com “CANTA”, ou seja, as 4 ultimas letras (g, a, l, o) podem estar em qualquer ordem.

  4. Victor Duarte Neves

    Essa explicação ajudou muito mas sabe como faço combinatória?

    • Olá Victor!
      Sugiro que leia o conteúdo sobre o assunto e estude também através dos exercícios resolvidos.

  5. Victor Duarte Neves

    Ex. O cálculo de 4 algarismos sem restrições

  6. Paulo escreveu a
    palavra CELSO em uma folha de cartolina branca. O
    número total de anagramas que podemos formar com essa palavra em que as consoantes aparecem sempre
    juntas e em qualquer ordem.

  7. para anagrama da palavra constituente por exemplo. tendo duas letras juntas como exemplo sc e ainda tenhp que a primeira ser vogal. como q faz ?

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