Anagramas

Dando continuidade ao estudo da Análise Combinatória, vamos aprender a calcular a quantidade de anagramas de palavras.

Pede-se que o aluno tenha conhecimentos acerca do fatorial de um número natural e do Princípio Fundamental da Contagem.

Bom estudo!

Definição

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra é calcular quantas “palavras”, com ou sem sentido, podemos escrever com as letras utilizadas para escrevê-la.

Como exemplo, podemos listar os 6 anagramas da palavra GOL.

Exemplo 1. Anagramas da palavra GOL:

GOL, GLO, OGL, OLG, LGO, LOG

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com apenas 3 letras é muito fácil. Vamos agora aprender um método simples e viável para o caso de palavras com muitas letras.

Temos dois casos a considerar:

  1. Palavras com letras diferentes
  2. Palavras com letras repetidas

Anagramas de palavras com letras diferentes

Para calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com letras diferentes, basta utilizarmos o princípio fundamental da contagem. Veja o exemplo:

Exemplo 2. Calcular a quantidade de anagramas da palavra LIVRO:

Precisamos utilizar as 5 letras para escrevermos várias “palavras” diferentes:

_  _  _  _  _

Temos:

5 opções para a primeira posição

4 opções para a segunda posição

3 opções para a terceira posição

2 opções para a quarta posição

1 opção para a última posição

Ou seja, a quantidade de anagramas da palavra LIVRO é:

5.4.3.2.1 = 120

O fato da quantidade de anagramas de uma palavra com 5 letras distintas ser igual a 5! não é coincidência. Para calcularmos a quantidade de anagramas de uma palavra com letras distintas, basta calcularmos o fatorial do número que representa a quantidade de letras.

Exemplo 3. Quantidade de anagramas da palavra AMOR:

4! = 4.3.2.1 = 24

Exemplo 4. Quantidade de anagramas da palavra MULHER:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exemplo 5. Quantidade de anagramas da palavra FUTEBOL:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

Anagramas de palavras com letras repetidas

Agora que já aprendemos a calcular a quantidade de anagramas com letras distintas, vamos aprender a calcular quando a palavra apresenta letras repetidas. O cálculo é muito simples, basta contar a quantidade de repetições.

Veja o exemplo:

Exemplo 6. Calcular a quantidade de anagramas da palavra JABUTICABA.

Temos 10 letras. Se todas fossem diferentes, a quantidade de anagramas seria igual a 10!. Mas não é tão simples assim pois temos algumas repetições:

  • A letra A aparece 3 vezes
  • A letra B aparece 2 vezes

Devemos descontar as repetições para que a contagem dos anagramas seja feita da forma correta. Para que isto seja feito, vamos dividir o 10! pelo fatorial de cada uma das repetições. Veja:

como calcular anagramas exemplo

Veja que:

10! – representa a quantidade total de palavras

3! – representa a quantidade de vezes que a letra A aparece

2! – representa a quantidade de vezes que a letra B aparece

Exemplo 7. Calcular a quantidade de anagramas da palavra MATEMATICA.

Temos:

Quantidade de letras: 10

Quantidade de vezes que a letra M aparece: 2

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

Quantidade de vezes que a letra T aparece: 2

Calculando:

anagramas calcular

Exemplo 8. Calcular a quantidade de anagramas da palavra ABACATE.

Temos:

Quantidade de letras: 7

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

Calculando:

anagramas exemplos

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Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha no BB há 15 anos e atua como professor de matemática nas horas vagas.

15 comments

  1. Maria Neiva dos Santos

    Bom dia! No exemplo 7, não entendi como é realizado o calculo dos denominadores.
    Neiva

  2. Obrigada pela explicação, ajudou bastante!!! 🙂

  3. Como fazer a seguinte questao.
    Todos os Anagrama possiveis da palavra CANTAGALO
    Qual a probabilidade de eu tirar ao acaso os anagramas iniciados com “CANTA”, ou seja, as 4 ultimas letras (g, a, l, o) podem estar em qualquer ordem.

  4. Victor Duarte Neves

    Essa explicação ajudou muito mas sabe como faço combinatória?

    • Olá Victor!
      Sugiro que leia o conteúdo sobre o assunto e estude também através dos exercícios resolvidos.

  5. Victor Duarte Neves

    Ex. O cálculo de 4 algarismos sem restrições

  6. Paulo escreveu a
    palavra CELSO em uma folha de cartolina branca. O
    número total de anagramas que podemos formar com essa palavra em que as consoantes aparecem sempre
    juntas e em qualquer ordem.

    • Décio Bozza

      Se não tivesse restrições seria 5!, 120 anagramas. Como as consoantes tem de ficar juntas, as vogais variariam só 2 vezes para cada combinação das 3 consoantes (3!). Então teria 3x2x6=36

  7. para anagrama da palavra constituente por exemplo. tendo duas letras juntas como exemplo sc e ainda tenhp que a primeira ser vogal. como q faz ?

  8. Gustavo Woltmann

    Interessante esse artigo. Muito bem explicado. Gostei.

  9. Curiosidadewoman

    Isso me ajudou bastante, eu estava meio atrasada com os deveres de matemática, mas foi tão fácil entender quando entrei aqui <3

  10. gostei bastante,tinha dúvidas sobre esse assunto e agora nao tenho mais 🙂

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