Dando continuidade ao estudo da temida Análise Combinatória, nesta página falaremos sobre os Arranjos Simples.

O assunto é bem complexo e pode ser muito explorado em provas de concursos e vestibulares, por isso vale a pena estudar bastante o conteúdo.

Lembrando que existem dois tipos de arranjos, os arranjos simples e os arranjos com repetição.

Bom estudo!

O que são arranjos simples?

Arranjos simples são agrupamentos dos elementos de um conjunto finito, onde a ordem faz toda a diferença, e não há repetição.

Exemplo 1:

Seja o conjunto W = {1, 2, 3, 4}. Vamos escrever todos os números de dois algarismos que podem ser formados com os elementos do conjunto W, sem repetição de algarismos:

12, 13, 14,

21, 23, 24

31, 32, 34

41, 42, 43

Nota-se que foram formados 12 números distintos a partir de um conjunto com quatro algarismos, tomados dois a dois, sem repetição.

Outro ponto a ser observado é que 12 ≠ 21, que conforme já citado, nos arranjos a ordem dos elementos faz toda a diferença.

Definição Formal

Dado um conjunto com uma quantidade n de elementos distintos, chamamos de arranjo simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos deste conjunto.

Analisando o exemplo do conjunto W = {1, 2, 3, 4}, temos n = 4 e k = 2.

Fórmula para cálculo do número de arranjos simples

O exemplo estudado até agora foi escolhido por ser bem simples e ideal para introduzir o conteúdo, porém existem casos onde listar os arranjos poderia demorar horas, ou até dias… Para facilitar, vamos aprender a utilizar a fórmula para calcular o número de arranjos simples. Veja:

Onde:

A_n,k = quantidade de arranjos

n = quantidade de elementos do conjunto

k = quantidade de elementos por arranjo

n ≥ k

Exemplo 2. Quantos arranjos de três letras podem ser formados através do conjunto A = {E, I, O, U}?

O primeiro passo é observar que o conjunto tem 4 elementos e que cada arranjo será formado por 3 deles. Ou seja, n = 4 e k = 3.

Utilizando a fórmula:

Exemplo 3. Quantas “palavras” (com ou sem sentido) de 6 letras distintas podem ser formadas com as letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, e J?

Claramente trata-se de um problema de análise combinatória, mais especificamente de arranjos.

Temos que n = 10 e k = 6.

Utilizando a fórmula:

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