Exercícios resolvidos sobre equações logarítmicas

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre equações logarítmicas, todos retirados de provas de concursos, vestibulares e ENEM.

Bom estudo!

Questão 1 (UP). A solução da equação logarítmica abaixo na variável real x é um número

Resolução

Pela definição de logaritmos, temos:

x² = x + 6

x² – x – 6 = 0

Podemos resolver a equação do segundo grau pelo método da soma e produto:

S = -b/a = -(-1)/1 = 1

P = c/a = -6/1 = -6

Os dois números cuja soma é igual a 1 e o produto é igual a -6 são os números -2 e 3.

Como x representa a base do logaritmo, que deve ser maior que zero e diferente de 1, descartamos a solução -2.

Finalizando, 3 é um número primo.

Resposta: A

Questão 2 (UP). A solução da equação logarítmica log₁₀ (x-4) = 2 é:

A) x = 6.

B) x = 10.

C) x = 50.

D) x = 100.

E) x = 104.

Resolução

Pela definição de logaritmos, temos:

10² = x – 4

100 = x – 4

x = 100 + 4

x = 104

Resposta: E

Questão 3 (CETREDE). Pode-se afirmar que o conjunto verdade da equação logarítmica log x + log (x+1) – log 6 = 0 é

A) {3}.

B) {2, –3}.

C) {2}.

D) {–2, 3}.

E) {2, 3}.

Resolução

Aplicando as propriedades de adição e subtração de logaritmos, temos:

log x + log (x+1) – log 6 = 0

log[ x.(x + 1) / 6 ] = 0

Pela definição de logaritmos:

x.(x + 1) / 6 = 10⁰ = 1

x.(x + 1) / 6 = 1

x.(x + 1) = 6

x² + x – 6 = 0

Temos uma equação do segundo grau que pode ser resolvida através do método da soma e do produto:

S = -b/a = -1/1 = -1

P = c/a = -6/1 = -6

Os dois números cuja soma é igual a -1 e o produto é igual a -6 são -3 e 2. Como o logaritmando deve ser maior que zero, descartamos o -3.

Resposta: C

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