Exercícios resolvidos sobre polinômios

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Aqui a matemática é abordada de forma simples e objetiva.

Confira uma seleção de questões resolvidas retiradas de vários concursos pelo país.

Bom estudo!

Questão  1 (Guarda Civil SP). O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por (x-2) é:

a) 1

b) 2

c) 10

d) 11

e) 12

Resolução:

prova-resolvida-guarda-civil-sp-2010-questao-21

Como a divisão gerou algumas dúvidas nos comentários, a dica é tirar a prova real:

(x – 2).(x² + 5x + 5) + 11

x³ + 5x² + 5x – 2x² – 10x – 10 + 11

x³ + 3x² – 5x + 1

Resposta: D

Questão 2 (Guarda Civil SP). Considere o polinômio:

Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:

a) 386.

b) 405.

c) 324.

d) 81.

e) 368.

Resolução:

Como P(1) = 2:

P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k = 2

4 + 3 – 2 + 1 + k = 2

6 + k = 2

k = 2 – 6

k = – 4

O polinômio será P(x) =  4x4  + 3x³ – 2x² + x – 4

Calculando P(3):

P(x) =  4x4 + 3x³ – 2x² + x – 4

P(3) =  4.34 + 3.3³ – 2.3² + 3 – 4

P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4

P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4

P(3) = 386

Resposta: A

Questão 3 (RFB 2009 – Esaf). Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x–a) e (x–b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x – 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x – 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13x/4 + 7/4

b) 7x/4 – 13/4

c) 7x/4 + 13/4

d) -13x/4 – 13/4

e) -13x/4 – 7/4

Resolução:

Primeiramente, o resto da divisão de um polinômio P(x) por (x-a) é igual a P(a).

Dividindo o polinômio f pelo polinômio de grau 2, resultado do produto (x-1).(x+3). Observe que o resto deve ter grau 1 ou 0 (se divisão exata).Vamos chamar o resto de ax + b.

Temos::

P(1) = 5 (5 é o resto da divisão de f por x-1)

P(-3) = -2 (-2 é o resto da divisão de f por x+3)

Daí,

a.1 + b = 5

a.(-3) + b = -2

Subtraindo a equação 1 pela equação 2, temos:

4a = 7

a = 7/4

Substituindo “a” na equação 1, temos:

7/4 + b = 5

b = 5 – 7/4

b = 13/4

Concluímos que o resto é ax + b = (7/4).x + 13/4

Resposta: C

Questão 4 (IFB – 2017). Em relação à função f(x) = x5 + 4x³ + 2x + 3 pode-se afirmar:

a) não tem raízes reais.

b) tem cinco raízes reais.

c) tem três raízes reais e duas complexas.

d) tem uma raiz real e quatro complexas.

e) tem duas raízes reais e três complexas.

Resolução

Podemos descartar as opções abaixo:

a) Como a função polinomial é contínua, f(-1) = -4 < 0, e f(0) = 3 > 0, podemos concluir que existe uma raiz real no intervalo [-1, 0].

f(-1) = (-1)5 + 4.(-1)³ + 2.(-1) + 3

f(-1) = -1 -4 – 2 + 3

f(-1) = -4

f(0) = 05 + 4.0³ + 2.0 + 3

f(0) = 3

b) e c) Analisando a derivada f'(x)=5x⁴+12x²+2, temos uma função positiva para todo valor de x. Recapitulando, f'(x) > 0 indica que a função f é crescente. De onde concluímos que a raiz “descoberta” ao analisar a letra a é única. Veja um esboço do gráfico:

e) Pelo teorema da raiz complexa conjugada, as raízes complexas aparecem aos pares, não sendo possível existirem três.

Resposta: D

Questão 5 (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva). Assinalar a alternativa que apresenta o resultado do polinômio abaixo:

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

a) 10x + 14xy + 18yx

b) 6x² + 21xy

c) 10x² + 32xy

d) 10x² + 9y

e) 22x + 9y

Resolução

2x(5x + 7y) + 9x(2y)

2x.5x + 2x.7y + 9x.2y

10x² + 14xy + 18xy

10x² + 32xy

Resposta: C

Questão 6 (UP). Sabe-se que o resto da divisão de um polinômio P(x) por binômio do tipo (x – a) é P(a). Qual é o resto da divisão de P(x) = 5x³ – 5x² + 5 por (x + 1)?

A) -1

B) 5

C) 1

D) -5

Resolução

Observe que o binômio (x + 1) possui a = -1.

Calculando o valor de P(a):

P(x) = 5x³ – 5x² + 5

P(-1) = 5(-1)³ – 5(-1)² + 5

P(-1) = 5.(-1) – 5.1 + 5

P(-1) = -5 – 5 + 5

P(-1) = -5

Resposta: D

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

22 comments

  1. muito bom , só nao entendi a divisão

    • Eu tbm na entendi o meu deu 2X elevado ao quadrado – 4X + 2

    • Cara ele errou nos sinais pode confirir um sinal errado da problema onde tem ai +3x ao quadrado sobre -2x ta errado pq era para ser assim o +3x ao quadrado + 2x ao quadrado dá exatamente 5x ao quadrado

      • Hugo, a divisão de polinômios não é simples. Costuma gerar muitas dúvidas. Fiz uma alteração, acrescentando a prova real.

  2. eu estou a fazer engenharia civil e gostei do vosso blog e espero nela ter um grande apoio para a minha formacao.

  3. 32. como desenvolver em produto de factores lineares o polinómio z evado 2n e -1

  4. Olá, estou na dúvida sobre a questão 1. A resolução não daria resto 9?

  5. Qual é a sua dúvida Patrick?

  6. Olá Everton,
    Havia um pequeno erro de digitação que foi corrigido.
    Obrigado.

  7. Patrick Ernany cara acho que ele errou pq 4*1+3*1-2*1+1 ai é para da isso aqui +7-1+k=2 fazendo o calculo vai da -6+k=2 que da k= -6+2 então k= -4 confira ai

  8. Eu estou cm muita dificuldade em resolver polinomios o senhor pode me ajudar indicando sites
    desde ja agradeço

  9. Não entendi a questão 1, fiz pelo teorema do resto igualando o divisor a zero e achando a raiz e colocando no dividendo o resultado foi igual a 9, em contrapartida fazendo a divisão normal da 11.

  10. como a questao 1 da 11 a minha deu 3 enves de somar nao deveria subtrair ess 3xao quadrado por 2x aoo quadrado ? nao entendi pq vc somou

  11. Coloque umas questões mais difíceis prof, por favor.

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