Uma dizima periódica é um número que, quando escrito no sistema decimal, possui uma quantidade infinita de casas decimais, porém é possível observar um padrão, pois um ou mais algarismos se repetem infinitamente, e a esses algarismos chamamos de período.

O assunto em questão costuma cair principalmente em provas de nível fundamental e médio e faz parte da matemática básica.

 

 

Exemplos de dizimas periódicas:

a) 0,11111… é uma dizima de período 1

b) 0,121212… é uma dizima de período 12

c) 1,34563456… é uma dizima de período 3456

 

 

Dizima periódica simples

Dizemos que trata-se de uma dizima periódica simples quando o período aparece imediatamente após a vírgula.

 

Exemplos:

a) 0,1111…

b) 0,878787…

c) 0,621621621…

 

 

Fração geratriz

Toda dizima periódica é um número racional, ou seja, podemos representá-lo através de uma fração. Vejamos alguns exemplos:

 

a) 0,1111…

Neste caso, temos que o período da dizima é 1.

Seja x = 0,111…

Daí, 10x = 1,111…

 

Subtraindo a primeira da segunda equação, temos:

10x – x = 1,111… – 0,1111…

9x = 1

x = 1/9

Temos então que 0,111… = 1/9

 

Obs: Não foi por coincidência que achamos 1/9. Toda dizima periódica cujo período possui apenas um algarismo pode ser representada pela fração onde o numerador é o período e o denominador é o algarismo 9.

 

 

b) 0,878787…

Neste caso, temos que o período da dizima é 87.

Seja x = 0,878787…

Daí, 100x = 87,878787…

 

Subtraindo a primeira da segunda equação, temos:

100x – x = 87,878787… – 0,878787…

99x = 87

x = 87/99

 

Obs: Não foi por coincidência que achamos 87/99. Toda dizima periódica cujo período possui apenas dois algarismos pode ser representada pela fração onde o numerador é o período e o denominador é o número 99.

 

 

c) 0,963963963…

Neste caso, temos que o período da dizima é o 963.

Se fizermos todos os cálculos dos exemplos anteriores, chegaremos a fração 963/999, e assim vale para todos os casos onde o período inicia-se após a vírgula.

 

 

Dizima periódica composta.

Neste tipo de dizima periódica, existe um ou mais algarismos entre a vírgula e o período.

 

Exemplos:

a) 0,2454545…

b) 0,33612612612…

c) 0,988888…

 

 

Como transformar uma dizima periódica composta em fração

Vamos utilizar transformar em fração a dizima 0,2454545…

 

Após observarmos que o período é 45, vamos separá-lo do restante:

0,2 + 0,045454545…

 

Sabemos que 0,2 corresponde a fração 2/10

 

Vimos também que se o número fosse 0,454545…, a fração seria 45/99.

É notório que 0,454545… é 10 vezes maior do que 0,0454545…, daí:

0,0454545… = 45/990

 

Finalizando, 0,2454545… = 2/10 + 45/990 = (198 + 45)/990 = 243/990 = 27/110

 

 

Curiosidade

 

Quanto seria 0,9999…?

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