Dando início a nossa série de posts sobre o estudo das derivadas, falaremos aqui sobre as funções contínuas, onde apresentamos a definição e vários exemplos.

Não deixe de ver também as nossas publicações sobre outros tópicos do cálculo numérico.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO CONTÍNUA

Podemos dizer que uma função contínua é aquela cujo gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Para facilitar a compreensão, veremos alguns exemplos de funções que apresentam “anomalias” que impedem o seu desenho contínuo.

 

Exemplo 1. Analisar a função abaixo, definida em R – {3}.

Para x ≠ 3, temos:

 

Vejamos o gráfico da função f:

Como não existe f(3), o gráfico de f apresenta um “furo” no ponto (3, 6).

Dizemos que a função é descontínua em x=3.

 

 

Exemplo 2. Analisar a função abaixo, definida em R*.

Para x ≠ 0, temos:

• se 2x<0, f(x) = -2x/x = -2
• se 2x>0, f(x) = 2x/x = 2

 

Vejamos o gráfico da função f:

Veja que a função não está definida no ponto x = 0, onde apresenta um “degrau”.

Dizemos que a função é descontínua em x=0.

 

 

Exemplo 3. Analisar a função abaixo, definida em R – ]1, 2[.

f(x) = x – 2, se x>2;

f(x) = -x + 1, se x<1.

 

Vejamos o gráfico da função f:

Veja que a função não está definida quando x está entre 1 e 2. Existe um “espaço” entre esses dois números.

Dizemos que a função é descontínua no intervalo real ]1, 2[.

 

 

CONCLUSÕES

Nos três exemplos apresentamos gráficos com anomalias (furo, degrau e espaço). Essas anomalias são chamadas de pontos de descontinuidade.

• Uma função cujo gráfico não apresenta anomalias para todo x∈R é chamada de função contínua.
• Uma função cujo gráfico não apresenta anomalias no intervalo ]a, b[ é dita contínua em ]a, b[.

 

São exemplos de funções contínuas:

• funções polinomiais;
• funções seno e cosseno;
• funções exponenciais.

 

 

UTILIZANDO CONCEITOS DE LIMITES

Podemos dizer que uma função f é contínua em um ponto x=a se valer a seguinte condição:

Veja que uma função é contínua em x=a se o limite existe e é igual a f(a), ou seja, f(a) também existe.

 

 

Exemplo 4. A função f(x) = x² é contínua para todo x∈R.

Veja que o gráfico não possui nenhum tipo de anomalia.

Também é fácil verificar que o limite é igual a f(a) para todo x=a.

 

 

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