EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL

Procurando exercícios resolvidos sobre geometria espacial? Confira aqui várias questões comentadas, todas retiradas das últimas provas de concursos.

Veja também em nosso menu exercícios resolvidos sobre outros tópicos da geometria espacial.

Bom estudo!

 

 

Questão 1 (PM RJ – Exatus). Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

Está correto apenas o que se afirma em:

a) Apenas as afirmativas I e II.

b) Apenas as afirmativas II e III.

c) Apenas as afirmativas II e IV.

d) Apenas as afirmativas III e IV.

 

Resolução

Vamos analisar cada uma das afirmações:

 

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), paralelas a um plano (em vermelho), e que não são paralelas entre si.

posicoes relativas entre planos questoes

 

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

A afirmação está correta. Existem infinitas retas paralelas a r (dentro e fora do plano α).

 

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

A afirmação está correta. Basta que o ângulo entre elas seja de 90º.

 

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

A afirmação está incorreta. Veja na figura que a reta r é paralela a α, porém não é paralela a reta s, que pertence a α.

planos e retas exercicios resolvidos

Resposta: B

 

 

Questão 2 (Prefeitura de Ceará Mirim – RN – Comperve). Um brilhante com formato de um octaedro é exibido em uma concorrida exposição. Por medida de segurança, ele foi colocado no interior de um cubo de vidro com seus vértices tocando, precisamente no meio de cada face do cubo, conforme a figura abaixo.

exercicios resolvidos poliedros

Se o volume do cubo é 1.728 cm³ , o volume do octaedro, em cm³ , será

a) 144.

b) 288.

c) 432.

d) 576.

 

Resolução

O primeiro passo é determinar a medida das arestas do cubo. Como o volume é igual a 1.728 cm³, podemos afirmar que cada aresta mede 12 cm. Veja:

12³ = 1728

 

O octaedro pode ser dividido em duas pirâmides. Como os vértices tocam precisamente no meio de cada face do cubo, a base dessas pirâmides é um losango onde as diagonais possuem as mesmas medidas da aresta do cubo. Também é possível observar que a altura é exatamente a metade da aresta do cubo.

 

Área da base da pirâmide (losango):

A = d1 x d2 / 2

A = 12 x 12 / 2

A = 72 cm²

 

Volume da pirâmide:

V = Ab x h / 3

V = 72 x 6 / 3

V = 144 cm³

 

Como o octaedro é composto por duas pirâmides:

2 x 144 = 288 cm³

Resposta: B

 

 

Questão 3 (Bombeiros MG – Igetec). O hexaedro regular que inscreve a esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a:

a) 2,7

b) √3

c) 3√3

d) 3

 

Resolução

Veja como é um hexaedro e o que seria sua diagonal:
hexaedro

Repare que como o hexaedro está inscrito a uma esfera, a diagonal é o dobro do raio da mesma.

Podemos calcular o raio pela fórmula pois sabemos seu volume:

Volume = π.r³.4/3

9π/2 = π.r³.4/3

9/2 = r³.4/3

r³ = 9.3/2.4

r³ = 27/8

r = 3/2

 

Logo, a diagonal é 2.3/2 = 3

Resposta: D

 

 

Questão 4 (Vassouras RJ – IBFC). Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é:

a) 12

b) 9

c) 15

d) 11

e) 10

 

Resolução

Utilizando a relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 9 = 16 + 2

V = 18 – 9

V = 9

 

Resposta: B

 

 

Questão 5 (PM ES – Exatus – Geometria Espacial). O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:

a) 12π cm³

b) 13π cm³

c) 14π cm³

d) 15π cm³

e) 16π cm³

 

Resolução

Veja na figura que após a rotação em torno da base, teremos um sólido formado por dois cones iguais. Basta então calcular o volume de um deles e multiplicar por 2.

 

Calculando a altura h do cone através do Teorema de Pitágoras:

5² = 3² + r²

r² = 25 – 9

r² = 16

r = 4

 

Calculando o volume do cone:

V = Área da base x altura / 3

V = π . 4² . 3 / 3

V = π . 16

V = 16π cm³

 

Resposta: E

 

 

Questão 6 (TRE PI – FCC). Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura.

Em relação a essa divisão, é correto afirmar que

a) todas as partes obtidas têm o mesmo volume.

b) a parte III é a de maior volume.

c) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II.

d) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume.

e) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II.

 

Resolução

Como os cortes foram paralelos e igualmente espaçados, a parte que possuirá o maior volume será a que possui o maior raio. Nesta caso, a região de maior volume é a III.

Resposta: B

 

 

Questão 7 (EsPCEx). A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.

A medida da altura desse tronco de cone é

a) 13 cm

b) 12 cm

c) 11 cm

d) 10 cm

e) 9 cm

 

Resolução

Veja na figura abaixo o tronco de cone que foi planificado.

 

Nela é possível observar que a altura do tronco pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

13² = h² + 5²

169 = h² + 25

h² = 169 – 25

h² = 144

h = √144

h = 12 cm

 

Resposta: B

 

 

Questão 8 (FUVEST). Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

a) 2√3

b) 4

c) 3√2

d) 3√3

e) 6

 

Resolução

A parte mais complicada da questão é “enxergar” como os vértices de um tetraedro regular podem ser vértices de um cubo. Veja como isto é possível:

exercicios resolvidos tetraedro regular dentro do cubo

 

Na figura é possível observar que as arestas do tetraedro regular são diagonais das faces quadradas do cubo. Veja:

exercicios resolvidos tetraedro

 

Utilizando o Teorema de Pitágoras para descobrir a medida “a” da aresta do tetraedro:

a² = 2² + 2²

a² = 4 + 4

a² = 8

a = √8

a = 2√2

 

Agora que sabemos a medida das arestas, basta calcular a área de uma das faces do tetraedro, ou seja, a área do triângulo equilátero de lado 2√2:

 

tetraedros exercicios

Resposta: A

 

 

Questão 9 (EsPCEx – Geometria Espacial). Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.

O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:

a) 6

b) 7

c) 9

d) 10

e) 11

 

Resolução

Nosso objetivo é calcular a área lateral do tronco de pirâmide regular, ou seja, devemos calcular a área de um dos trapézios e multiplicar por 4.

As medidas da base maior e da base menor já foram informadas na figura.

Vamos descobrir a medida da altura dos trapézios.

 

 

Na figura acima é possível observar que a altura (x) do trapézio pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 10,24 + 5,76

x² = 16

x = √16

x = 4 m

 

Calculando a área do trapézio cuja altura, base menor e base maior medem, respectivamente 4 m, 2,4 m e 7,2 m.

 

Como cada trapézio possui área de 19,2 m², a área lateral do tronco da pirâmide regular será:

4 . 19,2 = 76,8 m²

 

Se cada galão pinta uma área de 11 m²:

76,8 / 11 = 6,98

 

Daí, são necessários 7 galões.

Resposta: B

 

 

Questão 10 (SISPREM RS – FUNDATEC). Um enfeite em formato de pirâmide regular e de base quadrada tem o lado da base medindo 10 cm e a altura de 30 cm. Qual é o volume em cm³ dessa pirâmide?

a) 300.

b) 690.

c) 830.

d) 950.

e) 1.000.

 

Resolução

piramide regular quadrangular

Antes de calcularmos o volume da pirâmide, vamos calcular a área da base (quadrado):

Ab = 10² = 100 cm²

 

Calculando o volume da pirâmide:

exercicios resolvidos volume de uma piramide

Resposta: E

 

 

Questão 11 (AFPR – COPS). A figura, a seguir, mostra um pedaço de cartolina que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma embalagem na forma de um prisma hexagonal regular reto.

prismas exercicios resolvidos

Supondo que l = 2 cm e h = 5 cm, qual é o volume dessa embalagem em cm3?

a) √3 cm³

b) √3/2 cm³

c) 30√3 cm³

d) 6√3 cm³

e) 3√3 cm³

 

Resolução

O volume de um prisma pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura.

Como a base é um hexágono regular, podemos calcular a área através da seguinte fórmula:

Ab = 3.l².√3/2

Ab = 3.2².√3/2

Ab = 3.4.√3/2

Ab = 6.√3

 

Calculando o volume do prisma:

V = h . Ab

V = 5 . 6.√3

V = 30.√3 cm³

 

Resposta: C

 

 

Questão 12 (Petrobras – Cesgranrio). Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.

A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm² , igual a

a) 8π

b) 12π

c) 16π

d) 24π

e) 32π

 

Resolução

A informação que ainda não temos para calcular a área pedida é o raio da base do cilindro.

Nosso objetivo inicial será utilizar a medida da altura e do volume para descobrirmos o raio.

 

Utilizando a fórmula do volume:

V = π.r².h

192π = π.r².12

192 = 12r²

r² = 192/12

r² = 16

r = 4 cm

 

Agora que sabemos a medida do raio, vamos calcular a área lateral ocupada pela fita, cuja altura é de 2 cm.

Al = 2.π.r.h

Al = 2.π.4.2

Al = 16.π cm²

 

Resposta: C

 

 

Questão 13 (SEDUC RJ – COPERJ). A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto B mede 3√5 decímetros:

exercicios resolvidos volume do cubo

Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a:

a) 125

b) 216

c) 343

d) 512

e) 729

 

Resolução

Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x.

Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semi reta AB e pelas semi retas que dividem as faces ao meio. Veja a figura:

questao resolvida volume do cubo

 

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(3√5)² = x² + (x/2)²

45 = x² + x²/4

45 = 5x²/4

5x² = 4.45

5x² = 180

x² = 180/5

x² = 36

x = 6 dm

 

Calculando o volume do cubo:

V = x³

V = 6³

V = 216 dm³

 

Resposta: B

 

 

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre geometria espacial?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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