EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE CADEIAS DE MARKOV

Procurando exercícios resolvidos sobre as Cadeias de Markov? Veja aqui várias questões comentadas, todas retiradas dos últimos concursos públicos.

Veja em nosso menu principal exercícios resolvidos sobre outros tópicos da matemática e da estatística.

Bom estudo!

 

 

Questão 1 (CESPE 2011 – Analista de Correios – Estatístico). Uma cadeia de Markov é denominada irredutível (ou ergódica) caso qualquer estado possa ser transformado em qualquer outro estado, não necessariamente em um único passo. Uma cadeia de Markov com matriz de transição P é regular caso exista um número inteiro positivo n tal que todos os elementos da matriz potência Pn sejam estritamente positivos.

Julgue o seguinte item a respeito desses conceitos.

“O dígrafo abaixo representa uma cadeia de Markov regular.”

 

Resolução

O dígrafo pode ser representado pela seguinte matriz de transição:

Tem dúvidas acerca da formação da matriz de transição?

Note que o elemento p23 é igual a probabilidade de chegar em 3, saindo de 2.

 

Por definição, uma cadeia de Markov é regular se existe um natural r0 tal que para todo r≥r0, (pij)r > 0, ∀i,j∈S. Ou seja, se existe uma potência de P com todas as entradas positivas.

Observe que para qualquer valor de n, Pn terá todos os elementos maiores que zero, ou seja, matriz regular.

Resposta: Certo

 

 

Questão 2 (CNJ 2013 – CESPE – Analista Judiciário). A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:

Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.

 

a) Se o modelo descrito valer por tempo indeterminado, então as proporções das classes A, M e B tenderão para as probabilidades estacionárias 2/7, 2/7 e 3/7, respectivamente.

 

Resolução

Sejam a, m e b as probabilidades estacionárias referentes as classes A, M e B.

 

As probabilidades dos filhos de uma família da classe A pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 90%, 10% e 0%, respectivamente.

a = 0,9a + 0,1m

As probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

m = 0,1a + 0,6m + 0,2b

As probabilidades dos filhos de uma família da classe B pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 0%, 30% e 80%, respectivamente.

b = 0,3m + 0,8b

 

Temos também que:

a + m + b = 1

 

O nosso objetivo será resolver o sistema de equações abaixo:

a = 0,9a + 0,1m (I)

m = 0,1a + 0,6m + 0,2b (II)

b = 0,3m + 0,8b (III)

a + m + b = 1 (IV)

 

Manipulando as equações I, II e III:

a – m = 0

a – 4m + 2b = 0

3m – 2b = 0

a + b + m = 1

 

Como o nosso objetivo é estudar as Cadeias de Markov, a resolução do sistema linear será omitida. Caso tenha alguma dúvida sobre o assunto, clique aqui.

Temos:

a = 2/7

m = 2/7

b = 3/7

Resposta: Certo

 

 

b) Na próxima geração, 13% da população pertencerá à classe A, 35% à classe M e 52% à classe B.

 

Resolução

Resolveremos a questão analisando agora as colunas da matriz de transição.

As colunas 1, 2 e 3 nos informam as chances de um indivíduo da próxima geração pertencer às classes A, M e B. Utilizaremos a informação do enunciado, que diz “atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B”

 

Classe A (coluna 1):

0,9 . 10% + 0,1 . 40% + 0 . 50% = 9% + 4% + 0% = 13%

Classe M (coluna 2):

0,1 . 10% + 0,6 . 40% + 0,2 . 50% = 1% + 24% + 10% = 35%

Classe B (coluna 3):

0 . 10% + 0,3 . 40% + 0,8 . 50% = 0% + 12% + 40% = 52%

 

Resposta: Certo

 

 

c) Na hipótese de que o modelo tenha sido válido para a formação da geração atual, então as classes A, M e B na geração anterior eram formadas por 5%, 30% e 65% da população, respectivamente.

 

Resolução

A resolução do item c é praticamente igual ao item b, a diferença é que agora nós queremos saber a geração anterior, e não a próxima.

Sejam x, y e z os valores referentes as classes A, M e B na geração anterior, e 0,1, 0,4 e 0,5 os valores referentes a geração atual.

 

Classe A (coluna 1):

0,9x + 0,1y + 0z = 0,1

Classe M (coluna 2):

0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4

Classe B (coluna 3):

0x + 0,3y + 0,8z = 0,5

 

O nosso objetivo será verificar se {5%, 30%, 65%} é a solução do sistema abaixo.

0,9x + 0,1y = 0,1

0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4

0,3y + 0,8z = 0,5

 

Basta analisarmos a primeira equação para termos certeza que {5%, 30%, 65%} não é o conjunto solução.

Resposta: Errado

 

 

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre as Cadeias de Markov?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

One comment

  1. 1) Um escritório de advocacia emprega 4 tipos de advogados: advogado junior, advogado pleno,
    advogado sênior e associado. Durante um ano qualquer, há uma probabilidade de 0,20 de que um
    advogado junior seja promovido para um advogado pleno, e 0,10 de que ele deixe a firma; há
    uma probabilidade de 0,15 de que um pleno passe a sênior e 0,05 de que deixe a firma; há uma
    probabilidade de 0,20 de que um advogado sênior seja promovido para associado, e 0,10 de que
    ele deixe a firma; e uma probabilidade de 0,05 de que um associado deixe a firma. O escritório
    nunca demite um advogado; um advogado junior não pode ser promovido a associado ou sênior
    e um pleno não pode ser promovido a associado e nenhum advogado pode ser rebaixado. Sabendo
    que Carlos está começando hoje, qual a probabilidade de ele chegar a advogado associado daqui
    a 4 anos.
    2) Um escritório possui dois computadores para executar o trabalho diário. Observou-se que quando
    os dois computadores estão funcionando de manhã, existe uma probabilidade de 30% que um
    deles pare de funcionar até de noite e 10% que os dois parem de funcionar. Se apenas um
    computador estiver funcionando no início do dia, existem 20% de chance que ele deixe de
    funcionar até o fim do dia. Se nenhum computador estiver funcionando pela manhã, o escritório
    envia todo o serviço para ser executado externamente. Neste caso não haverá falha das máquinas
    durante o dia. Os consertos são executados em uma loja próxima. Os computadores são levados
    durante o dia e devolvidos em condições de operação na manhã seguinte. O intervalo de um dia
    ocorre quando uma ou ambas as máquinas estão sendo consertadas.
    a) Construir a matriz de transição neste caso.
    b) Construir a matriz de transição se a operação de reparo levar 2 dias, sabendo que apenas
    uma máquina pode ser consertada de cada vez.
    FERNANDO MORI |
    3) As ações de uma dada companhia X, podem apresentar alta, permanecer estável ou apresentar
    baixa em cada pregão. Foi observado que após uma alta das ações, a chance de no pregão seguinte,
    ocorrer novamente alta é de 35 %, de permanecer estável é 25 % e de ocorrer baixa é de 40 %.
    Quando em dado pregão as ações permanecem estáveis, as chances de ocorrer alta, permanecer
    estável e ocorrer baixa das ações, no pregão seguinte são, respectivamente 30 %, 35 % e 35 %.
    Por outro lado, após uma baixa em determinado pregão, as chances de ocorrer alta, das ações
    permanecerem estáveis e ocorrer baixa no pregão seguinte, são de 20 %, 45% e 35 %,
    respectivamente. Uma segunda companhia, Y, apresenta as probabilidades de transição entre
    pregões dada pela matriz de transição abaixo:
    A E B
    A 0,40 0,30 0,30
    P = E 0,25 0,50 0,25
    B 0,35 0,40 0,25
    Com essas informações, determine:
    a) Sabendo que no pregão de hoje as ações da companhia X tiveram baixa, qual a probabilidade de ocorrer
    alta daqui a três pregões?
    b) Em ações de qual companhia, X ou Y, deveríamos investir, se desejamos um resgate a longo prazo.

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