EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE CADEIAS DE MARKOV

Procurando exercícios resolvidos sobre as Cadeias de Markov? Veja aqui várias questões comentadas, todas retiradas dos últimos concursos públicos.

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Bom estudo!

 

 

Questão 1 (CESPE 2011 – Analista de Correios – Estatístico). Uma cadeia de Markov é denominada irredutível (ou ergódica) caso qualquer estado possa ser transformado em qualquer outro estado, não necessariamente em um único passo. Uma cadeia de Markov com matriz de transição P é regular caso exista um número inteiro positivo n tal que todos os elementos da matriz potência Pn sejam estritamente positivos.

Julgue o seguinte item a respeito desses conceitos.

“O dígrafo abaixo representa uma cadeia de Markov regular.”

 

Resolução

O dígrafo pode ser representado pela seguinte matriz de transição:

Tem dúvidas acerca da formação da matriz de transição?

Note que o elemento p23 é igual a probabilidade de chegar em 3, saindo de 2.

 

Por definição, uma cadeia de Markov é regular se existe um natural r0 tal que para todo r≥r0, (pij)r > 0, ∀i,j∈S. Ou seja, se existe uma potência de P com todas as entradas positivas.

Observe que para qualquer valor de n, Pn terá todos os elementos maiores que zero, ou seja, matriz regular.

Resposta: Certo

 

 

Questão 2 (CNJ 2013 – CESPE – Analista Judiciário). A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:

Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.

 

a) Se o modelo descrito valer por tempo indeterminado, então as proporções das classes A, M e B tenderão para as probabilidades estacionárias 2/7, 2/7 e 3/7, respectivamente.

 

Resolução

Sejam a, m e b as probabilidades estacionárias referentes as classes A, M e B.

 

As probabilidades dos filhos de uma família da classe A pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 90%, 10% e 0%, respectivamente.

a = 0,9a + 0,1m

As probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.

m = 0,1a + 0,6m + 0,2b

As probabilidades dos filhos de uma família da classe B pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 0%, 30% e 80%, respectivamente.

b = 0,3m + 0,8b

 

Temos também que:

a + m + b = 1

 

O nosso objetivo será resolver o sistema de equações abaixo:

a = 0,9a + 0,1m (I)

m = 0,1a + 0,6m + 0,2b (II)

b = 0,3m + 0,8b (III)

a + m + b = 1 (IV)

 

Manipulando as equações I, II e III:

a – m = 0

a – 4m + 2b = 0

3m – 2b = 0

a + b + m = 1

 

Como o nosso objetivo é estudar as Cadeias de Markov, a resolução do sistema linear será omitida. Caso tenha alguma dúvida sobre o assunto, clique aqui.

Temos:

a = 2/7

m = 2/7

b = 3/7

Resposta: Certo

 

 

b) Na próxima geração, 13% da população pertencerá à classe A, 35% à classe M e 52% à classe B.

 

Resolução

Resolveremos a questão analisando agora as colunas da matriz de transição.

As colunas 1, 2 e 3 nos informam as chances de um indivíduo da próxima geração pertencer às classes A, M e B. Utilizaremos a informação do enunciado, que diz “atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B”

 

Classe A (coluna 1):

0,9 . 10% + 0,1 . 40% + 0 . 50% = 9% + 4% + 0% = 13%

Classe M (coluna 2):

0,1 . 10% + 0,6 . 40% + 0,2 . 50% = 1% + 24% + 10% = 35%

Classe B (coluna 3):

0 . 10% + 0,3 . 40% + 0,8 . 50% = 0% + 12% + 40% = 52%

 

Resposta: Certo

 

 

c) Na hipótese de que o modelo tenha sido válido para a formação da geração atual, então as classes A, M e B na geração anterior eram formadas por 5%, 30% e 65% da população, respectivamente.

 

Resolução

A resolução do item c é praticamente igual ao item b, a diferença é que agora nós queremos saber a geração anterior, e não a próxima.

Sejam x, y e z os valores referentes as classes A, M e B na geração anterior, e 0,1, 0,4 e 0,5 os valores referentes a geração atual.

 

Classe A (coluna 1):

0,9x + 0,1y + 0z = 0,1

Classe M (coluna 2):

0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4

Classe B (coluna 3):

0x + 0,3y + 0,8z = 0,5

 

O nosso objetivo será verificar se {5%, 30%, 65%} é a solução do sistema abaixo.

0,9x + 0,1y = 0,1

0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4

0,3y + 0,8z = 0,5

 

Basta analisarmos a primeira equação para termos certeza que {5%, 30%, 65%} não é o conjunto solução.

Resposta: Errado

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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