Exercícios Resolvidos – Sequência de Fibonacci

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a sequência de Fibonacci, todos retirados de provas de concursos públicos e ENEM.

Bom estudo!

Exercício 1 (ESAF). A partir da lei de formação da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…, calcule o valor mais próximo do quociente entre o 11° e o 10° termo.

a) 1,732

b) 1,667

c) 1,618

d) 1,414

e) 1,5

Resolução

Observe que a questão apresenta a famosa Sequência de Fibonacci, que a partir do termo, podemos determinar um elemento da sequência somando os dois antecessores.

F_n = F_n-1 + F_n-2

Calculando os elementos F₉, F₁₀ e F₁₁:

 F₉ = F₈ + F₇ = 21 + 13 = 34

F₁₀ = F₉ + F₈ = 34 + 21 = 55

F₁₁ = F₁₀ + F₉ = 55 + 34 = 89

Logo, F₁₁/F₁₀= 89/55 ≅ 1,618

Resposta: C

Exercício 2 (Makiyama). “É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Assim a sequência fica: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…}”.

Assim, de acordo com o texto acima, o 14º elemento da Sequência de Fibonacci é:

A) 233

B) 144

C) 89

D) 55

E) 246

Resolução

Observe que a questão considerou o zero como o primeiro termo da sequência de Fibonacci, ou seja, o número 34 corresponderá ao décimo termo.

Calculando os demais:

F₁₁ = F₁₀ + F₉ = 34 + 21 = 55

F₁₂ = F₁₁ + F₁₀ = 55 + 34 = 89

F₁₃ = F₁₂ + F₁₁ = 89 + 55 = 144

F₁₄ = F₁₃ + F₁₂ = 144 + 89 = 233

Resposta: A

Exercício 3 (FCC). A sequência de Fibonacci começa com os números 1 e 2 e, em seguida, cada novo número da sequência é a soma dos dois números imediatamente anteriores, como se vê a seguir:

Na figura a seguir, observe a numeração estabelecida em um conjunto de 60 teclas de um piano.

Se um pianista decide tocar apenas as teclas marcadas com números da sequência de Fibonacci nesse piano, dentre as 60 teclas indicadas na figura, ele tocará apenas

a) 7 teclas.

b) 9 teclas.

c) 13 teclas.

d) 8 teclas.

e) 55 teclas.

Resolução

Observe que a questão considera que a sequência de Fibonacci começa com os números 1 e 2, e deseja saber quantas vezes o pianista tocará teclas representadas por termos da sequência.

Como existem 60 teclas, o nosso objetivo é descobrir quantos termos da sequência existem de 1 a 60.

São eles: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Total de 9 teclas.

Resposta: B

Exercício 4 (Cesgranrio). A sequência de Fibonacci é bastante utilizada para exemplificar sequências definidas por recorrência, ou seja, sequências em que se pode determinar um termo a partir do conhecimento de termos anteriores. No caso da sequência de Fibonacci, escreve-se que T_n+2 = T_n+1 + T_n e, desse modo, pode-se obter um termo qualquer conhecendo-se os dois termos anteriores. Considerando o exposto acima, determine o termo T₂₀₂₁ da sequência de Fibonacci, sabendo que T₂₀₁₈ = m e T₂₀₂₀ = p.

(A) (p + m)/2

(B) (p – m)/2

(C) p + 2m

(D) 2p – m

(E) 2m – 2p

Resolução

A partir do terceiro termo, podemos calcular qualquer termo da sequência de Fibonacci através da soma dos dois termos anteriores, ou seja, T_n+2 = T_n+1 + T_n.

O objetivo da questão é calcular o termo T₂₀₂₁ , ou seja, precisamos saber o valor de T₂₀₂₀ e T₂₀₁₉. Observe que sabemos o valor de T₂₀₂₀ e não sabemos o valor de T₂₀₁₉.

O valor de T₂₀₁₉ não é conhecido, mas pode ser calculado através da relação:

T₂₀₂₀ = T₂₀₁₉ + T₂₀₁₈

p = T₂₀₁₉ + m

T₂₀₁₉ = p – m

Agora que sabemos o valor do 2019° termo, podemos utilizar novamente a fórmula para calcularmos o 2021° termo:

T₂₀₂₁ = T₂₀₂₀ + T₂₀₁₉

T₂₀₂₁ = p + p – m

T₂₀₂₁ = 2p – m

Resposta: D

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