Estudando matemática para concursos? Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o Princípio da Casa dos Pombos, também conhecido como Princípio das Gavetas e Teorema de Dirichlet.
Não deixe de ver também os nossos exercícios resolvidos sobre os outros tópicos da análise combinatória.
Bom estudo!
Questão 1. Os 20 candidatos aprovados em um concurso do Tribunal de Justiça serão colocados em 10 gabinetes de desembargadores. Se cada gabinete receber pelo menos um dos candidatos aprovados e cada um deles só puder ser lotado em um único gabinete, pode-se afirmar que
a) pelo menos um dos gabinetes receberá dois dos candidatos aprovados.
b) nenhum gabinete receberá mais de dois candidatos aprovados.
c) cada gabinete receberá dois candidatos aprovados.
d) pelo menos um dos gabinetes receberá dois ou mais candidatos aprovados.
e) haverá gabinetes que receberão, cada um, apenas um dos candidatos aprovados.
Resolução
Sabendo que cada gabinete receberá pelo menos um dos 20 candidatos, vamos analisar cada uma das opções:
A hipótese de colocarmos apenas 1 candidato apenas em 9 gabinetes, e 11 candidatos no gabinete restante já descarta as opções A, B e C.
Se os candidatos forem divididos igualmente entre os gabinetes, eliminamos a opção E.
Pelo Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas), a pior hipótese possível seria colocar 2 candidatos em cada um dos 10 gabinetes. Assim, não é possível deixar algum gabinete sem dois ou mais candidatos.
Resposta: D
Questão 2 (TJ PI – FGV 2015) Um grupo de 6 estagiários foi designado para rever 50 processos e cada processo deveria ser revisto por apenas um dos estagiários. No final do trabalho, todos os estagiários trabalharam e todos os processos foram revistos. É correto afirmar que:
a) um dos estagiários reviu 10 processos;
b) todos os estagiários reviram, cada um, pelo menos 5 processos;
c) um dos estagiários só reviu 2 processos;
d) quatro estagiários reviram 7 processos e dois estagiários reviram 6 processos;
e) pelo menos um dos estagiários reviu 9 processos ou mais.
Resolução
Sabemos que 50 processos foram revistos por 6 estagiários. Como a questão diz que todos trabalharam, podemos concluir que cada um deles reviu pelo menos 1 processo.
O contra exemplo extremo onde temos 5 estagiários com apenas um processo e 1 estagiário com os 45 restantes já elimina as opções A, B, C e D.
Podemos confirmar que a letra E é a opção correta através do princípio da casa dos pombos ou das gavetas.
Como 6 x 8 = 48, na pior das hipóteses podemos distribuir 48 processos entre os 6 estagiários, de modo que cada um fique com 8, e ainda sobrarão 2 processos. Assim, alguém terá que trabalhar com 9 processos ou mais para completar o trabalho.
Resposta: E
Questão 3 (GCM SP – IBADE). Considere que em uma sala de aula há N alunos. O professor afirma aos alunos que há, pelo menos, 4 alunos diferentes fazendo aniversário no mesmo mês. Para tornar essa afirmação obrigatoriamente verdadeira, o valor mínimo de N é:
(A) 4.
(B) 12.
(C) 48.
(D) 25.
(E) 37.
Resolução
Observe que 1 ano possui 12 meses, ou seja, se considerarmos a “pior situação possível”, teremos 36 alunos, com três aniversariantes por mês.
Neste caso, bastaria que houvesse mais um aluno para afirmarmos que um mês terá 4 aniversariantes, ou seja, N = 37.
Leia mais em Princípio da Casa dos Pombos.
Resposta: E
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