Exercícios Resolvidos – Função Modular

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a função modular, todos retirados das últimas provas de concursos públicos.

Bom estudo!

Exercício 1 (Marinha). Dada a função f(x ) = √|x|, no intervalo [- 2,1], determine o valor de x, onde a função atinge seu valor máximo, e assinale a opção correta.

A) x = -2

B) x = – 1/4

C) x = 0

D) x = 1/2

E) x = 1

Resolução

A função atingirá o seu valor máximo quando o módulo |x| atingir o seu valor máximo.

Sabendo que o domínio da função é o intervalo [- 2,1], o valor máximo será atingido quando x = -2.

Isso pode ser constatado através do gráfico da função:

Resposta: A

Exercício 2 (Espcex). Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f(x)=|x-2|+|x+3|, então o valor de a + b + c é igual a

a) -7

b) -6

c) 4

d) 6

e) 10

Resolução

A função modular f(x)=|x-2|+|x+3| pode ser resolvida através da análise dos termos |x-2| e |x+3|.

Veja que:

Temos três intervalos a considerar:

  • x < -3

f(x) =|x-2|+|x+3|

f(x) = (- x + 2) + (- x – 3)

f(x) = – x + 2 – x – 3

f(x) = – 2x – 1

  • −3 ≤ x < 2

f(x) =|x-2|+|x+3|

f(x) = (- x + 2) + (x + 3)

f(x) = – x + 2 + x + 3

f(x) = 5

  • x ≥ 2

f(x) =|x-2|+|x+3|

f(x) = (x – 2) + (x + 3)

f(x) = x – 2 + x + 3

f(x) = 2x + 1

Observe que:

  • o valor de c representa a função constante onde −3 ≤ x < 2, ou seja, c = 5;
  • a e b são os valores de x onde a função sofre alterações, ou seja, a = -3 e b = 2.

Total: a + b + c = -3 + 2 + 5 = 4

Resposta: C

Exercício 3 (ESPP). A função ƒ(x) = |x² – 4x| é decrescente no intervalo:

a) ]-∞,2 [ ∪] 4, +∞[

b) ]-∞,0 [ ∪] 2,4[

c) ]-∞,0 [ ∪] 4, +∞[

d) ]-∞,2 [

Resolução

Antes de analisarmos a função modular, veremos o formato da função quadrática g(x) = x² – 4x.

Como trata-se de uma função incompleta, onde c = o, temos:

x² – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 ou x = 4

Sabendo que o gráfico é representado por uma parábola, e que as raízes são 0 e 4, o gráfico da função g(x) terá o seguinte formado:

Vejamos agora o que acontece quando aplicamos o módulo à função g(x) = x² – 4x.

Observe que o módulo altera o sinal da parte negativa, ou seja, o intervalo do gráfico em que g(x)<0 torna-se positivo, de forma simétrica ao eixo x.

Gráfico da função f(x):

Podemos observar no gráfico que a função f(x) é decrescente nos intervalos ]-∞,0 [ e ] 2,4[.

Resposta: B

Questão 4 (EEAR). Seja f(x) = |3x – 4| uma função. Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, então o valor de a + b é igual a

A) 5/3

B) 8/3

C) 5

D) 3

Resolução

Observe que:

3x – 4 = 0

3x = 4

x = 4/3

Considerando que temos uma função modular, temos dois casos a considerar:

  • f(x) = -3x + 4, se x < 4/3
  • f(x) = 3x – 4, se x ≥ 4/3

Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, podemos concluir que são dois valores de x distintos, cuja imagem é igual a 6.

Igualando os dois casos anteriores a 6, temos:

-3x + 4 = 6

-3x = 6 – 4

– 3x = 2

x = -2/3 (valor de a)

3x – 4 = 6

3x = 6 + 4

3x = 10

x = 10/3 (valor de b)

Total:

a + b = -2/3 + 10/3 = 8/3

Resposta: B

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre função modular?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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