Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre equações polinomiais, todos retirados de provas de concursos públicos e ENEM.
Bom estudo!
Exercício 1 (Planexcon). Ao resolver equações algébricas de terceiro grau, podemos verificar a importância dos coeficientes das equações e suas possíveis raízes, na articulação da técnica e dos significados destas equações. Assim, uma equação de 3º grau pode ser escrita por: ax3+bx2+cx+d=0, (com a≠0). A equação polinomial cujas raízes são 2, -2 e 3 deve ser escrita como:
A) x3 + 3x2 – 4x + 6 = 0.
B) x3 – 3x2 + 6 = 0.
C) 4x3 – 4x2 + 3x -12 = 0.
D) x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0.
E) -4x3 – 3x2 + 2x +6 = 0.
Resolução
Equações polinomiais de grau 3 possuem até três raízes reais. Como sabemos todas as raízes, podemos decompor a equação da seguinte forma:
(x – 2).(x + 2).(x – 3) = 0
Multiplicando os termos:
(x² – 4).(x – 3) = 0
x³ – 3x² – 4x + 12 = 0
Resposta: D
Exercício 2 (AOCP). A equação polinomial x3 – 147x + 686 = 0 tem por raízes os números m e n, sendo m raiz dupla e n = – 2 m. Nessas condições, o valor de (m + n) é
A) 7.
B) -7 .
C) -7 ou 7.
D) 7 – i.
E) -7 + i.
Resolução
Temos uma equação polinomial de grau 3.
Utilizaremos as relações de Girard, considerando que as três raízes são m, m e -2m.
r1.r2.r3 = -d/a
m.m.(-2m) = – 686/1
-2m³ = -686
2m³ = 686
m³ = 686/2
m³ = 343
m = √343
m = 7
Calculando o valor de n:
n = – 2.m
n = – 2.7
n = – 14
m + n = 7 – 14 = -7
Resposta: B
Exercício 3 (Aeronáutica). Seja a equação polinomial x³ + bx² + cx + 18 = 0. Se –2 e 3 são suas raízes, sendo que a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é
a) 8
b) 6
c) -3
d) -4
Resolução
Considerando que temos uma equação polinomial de grau 3, da qual sabemos as raízes, temos que:
(x – 3).(x – 3).(x + 2) = 0
(x² – 6x + 9).(x + 2) = 0
x³ – 4x² – 3x + 18 = 0
Comparando com a equação do enunciado:
b = -4
c = -3
Resposta: D
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