EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE ÁLGEBRA LINEAR

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a álgebra linear, todos escolhidos de forma a facilitar o entendimento do aluno.

Não deixe de ver também em nosso menu as outras publicações sobre o estudo da álgebra linear.

Bom estudo.

 

 

Questão 1. Verificar se os conjuntos são subespaços vetoriais de R³.

 

a) A = {(1, y, z) ∈ R³}.

Resolução

O subconjunto proposto não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³. Veja:

I) Contraexemplo:

Sejam v,w∈A, com v =  (1,2,3) e w = (1,3,6).

(1,2,3) + (1,3,6) = (2, 5, 9) ∉ A

II) Contraexemplo:

Seja v∈A, com v = (1,2,3).

10.(1,2,3) = (10,20,30)∉A

 

b) B = {(x, y,z) ∈ R³ |x ≤ y≤ z}.

Resolução

O subconjunto B não é um subespaço vetorial de R³ por não satisfazer a segunda condição:

Para qualquer (x, y,z)∈B, com (x, y,z)≠(0,0,0), e para todo k pertencente ao conjunto dos números reais negativos, temos que:

k(x, y,z)∉B

 

 

Questão 2. Seja u = (x, y,z,t) um vetor genérico do R4. Quais Confira se a aplicação abaixo é uma transformação linear do R4.

F(u) = (x, y−z, y + z,x + t)

 

Resolução

Sejam:

u = (x, y,z,t)

v = (x1, y1, z1, w1)

 

I) u + v = (x + x1, y + y1, z + z1, t + t1)

F(u + v) = F(x + x1, y + y1, z + z1, t + t1)

F(u + v) = (x + x1, (y + y1) − (z + z1), (y + y1) + (z + z1), (x + x1) + (t + t1)

F(u + v) = (x, y−z, y + z, x + t) + (x1, y1 − z1, y1 + z1, x1 + t1)

F(u + v) = F(u) + F(v)

 

II) ku = (kx, ky, kz, kt)

F(ku) = F(kx, ky, kz, kt)

F(ku) = kx, k(y−z), k(y + z), k(x + t)

F(ku) = k(x, y−z, y + z, x + t)

F(ku) = kF(u)

 

Conclusão: F é linear.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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