Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a álgebra linear, todos escolhidos de forma a facilitar o entendimento do aluno.
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Bom estudo.
Questão 1. Verificar se os conjuntos são subespaços vetoriais de R³.
a) A = {(1, y, z) ∈ R³}.
Resolução
O subconjunto proposto não satisfaz nenhuma das duas condições para ser subespaço vetorial de R³. Veja:
I) Contraexemplo:
Sejam v,w∈A, com v = (1,2,3) e w = (1,3,6).
(1,2,3) + (1,3,6) = (2, 5, 9) ∉ A
II) Contraexemplo:
Seja v∈A, com v = (1,2,3).
10.(1,2,3) = (10,20,30)∉A
b) B = {(x, y,z) ∈ R³ |x ≤ y≤ z}.
Resolução
O subconjunto B não é um subespaço vetorial de R³ por não satisfazer a segunda condição:
Para qualquer (x, y,z)∈B, com (x, y,z)≠(0,0,0), e para todo k pertencente ao conjunto dos números reais negativos, temos que:
k(x, y,z)∉B
Questão 2. Seja u = (x, y,z,t) um vetor genérico do R4. Quais Confira se a aplicação abaixo é uma transformação linear do R4.
F(u) = (x, y−z, y + z,x + t)
Resolução
Sejam:
u = (x, y,z,t)
v = (x1, y1, z1, w1)
I) u + v = (x + x1, y + y1, z + z1, t + t1)
F(u + v) = F(x + x1, y + y1, z + z1, t + t1)
F(u + v) = (x + x1, (y + y1) − (z + z1), (y + y1) + (z + z1), (x + x1) + (t + t1)
F(u + v) = (x, y−z, y + z, x + t) + (x1, y1 − z1, y1 + z1, x1 + t1)
F(u + v) = F(u) + F(v)
II) ku = (kx, ky, kz, kt)
F(ku) = F(kx, ky, kz, kt)
F(ku) = kx, k(y−z), k(y + z), k(x + t)
F(ku) = k(x, y−z, y + z, x + t)
F(ku) = kF(u)
Conclusão: F é linear.
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