ESPAÇOS VETORIAIS

Confira aqui tudo o que você precisa saber sobre os espaços vetoriais, onde apresentaremos a definição e vários exemplos.

Veja também em nosso menu várias publicações sobre outros tópicos da Álgebra Linear.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO DE ESPAÇO VETORIAL

Seja V um conjunto no qual estão definidas as operações:

  • Adição: Para quaisquer elementos u e v de V, associamos um elemento u+v de V;
  • Multiplicação por escalar: Para todo número real α e qualquer elemento v de V, associamos um elemento αv de V.

 

O conjunto V, onde valem as duas operações elencadas acima, é chamado de Espaço Vetorial se, para todos os elementos u, v, w ∈ V, e α, β ∈ R, todas as 8 condições abaixo são satisfeitas:

 

  • Comutatividade

u + v = v + u

 

  • Associatividade

u + (v + w) = (u + v) + w

 

  • Existência de elemento neutro para a adição

Existe um elemento 0∈V, tal que v+0 = v, para todo v∈V

 

  • Existência de elemento oposto na adição

Para todo v∈V, existe -v, tal que v + (−v) = 0

 

  • Associatividade

α(βv) = (αβ)v

 

  • Distributividade de escalares

(α + β)v = αv + βv

 

  • Distributividade de vetores

α(u + v) = αu + αv

 

  • Existência de elemento neutro para a multiplicação

1·v = v

 

 

EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS

 

O primeiro passo para verificarmos que R² é um espaço vetorial é verificar se estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar.

Sejam:

(x1,x2) e (y2,y2) ∈ R2, e α∈R.

(x1,x2) + (y1,y2) = (x1 + y1,x2 + y2)

α(x1,x2) = (αx1,αx2)

 

O segundo passo é verificar se as 8 condições são satisfeitas.

Sejam:

u = (x1,x2), v = (y1,y2) e w = (z1,z2), elementos de R2

α e β elementos de R

  • u + v = (x1 + y1, x2 + y2) = (y1 + x1, y2 + x2) = v + u
  • u+(v+w) = (x1 + (y1 + z1), x2 +(y2 + z2)) = ((x1 + y1)+z1,(x2 + y2) + z2) = (u + v) + w
  • u + (0,0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2) = u
  • −u = (−x1,−x2), temos u+(−u) = (x1−x1, x2−x2) = (0,0)
  • α(βu) = α(βx1, βx2) = (αβx1, αβx2) = (αβ)u
  • (α + β)u = ((α + β)x1, (α + β)x2) = (αx1 + βx1, αx2 + βx2) = αu + βu
  • α(u+v) = α(x1 +y1, x2 +y2) = (α(x1 +y1),α(x2 +y2)) = (αx1 + αy1, αx2 + αy2) = αu + αv
  • 1u = (1x1, 1x2) = (x1, x2) = u

 

  • R³, R4…, Rn

As prova são análogas a R², e deixaremos a cargo do aluno.

 

  • C (Conjunto dos números complexos)

 

  • Polinômios de grau n, onde n é um número natural não nulo

 

 

EXEMPLOS DE CONJUNTOS QUE NÃO SÃO ESPAÇOS VETORIAIS

 

  • N (conjunto dos números reais)

Basta verificar que não existe um elemento neutro para a adição.

Não existe n∈N, tal que 5 + n = 0

 

  • Z (conjunto dos números inteiros)

Basta verificar que quanto multiplicamos um número Z por um número irracional, por exemplo √3, o resultado não é um número Z.

5.√3 ∉ Z

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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