Cubo da soma e cubo da diferença

O cubo da soma e o cubo da diferença são ferramentas que facilitam a resolução de expressões algébricas. Eles fazem parte de um conjunto de ferramentas chamadas de produtos notáveis.

Bom estudo!

Cubo da Soma

A regra que será passada a seguir facilita o desmembramento de expressões do tipo (a + b)³, com a e b sendo números reais diferentes de zero.

Veja:

(a + b)³ = (a + b)² . (a + b)

Como (a + b)² = a² + 2ab + b², temos que:

(a + b)³ = (a² + 2ab + b²) . (a + b)

(a + b)³ = a².a + a².b + 2ab.a + 2ab.b + b².a + b².b

(a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

“O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.”

Exemplo 1. Desenvolver a expressão (x + 5)³.

(x + 5)³ = x³ + 3.x².5 + 3.x.5² + 5³

(x + 5)³ = x³ + 15x² + 3.x.25 + 125

(x + 5)³ = x³ + 15x² + 75x + 125

Exemplo 2. Desenvolver a expressão (2x + 4)³.

(2x + 4)³ = (2x)³ + 3.(2x)².4 + 3.2x.4² + 4³

(2x + 4)³ = 8x³ + 3.4x².4 + 6x.16 + 64

(2x + 4)³ = 8x³ + 48x² + 96x + 64

Cubo da Diferença

A regra do cubo da diferença é praticamente igual a regra anterior, com apenas uma pequena mudança no sinal, sendo utilizada no desmembramento de expressões do tipo (a – b)³.

Veja:

(a – b)3 = (a – b)2(a – b)

Como (a – b)2 = (a2 – 2ab + b2), temos:

(a – b)3 = (a2 – 2ab + b2)(a – b)

(a – b)³ = a².a – a².b – 2ab.a + 2ab.b + b².a – b².b

(a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

“O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo.”

Exemplo 3. Desenvolver a expressão (x – 10)³.

(x – 10)³ = x³ – 3.x².10 + 3.x.10² – 10³

(x – 10)³ = x³ – 30x² + 3.x.100 – 100

(x – 10)³ = x³ – 30x² + 300x – 100

Exemplo 4. Desenvolver a expressão (x – 1)³.

(x – 1)³ = x³ – 3.x².1 + 3.x.1² – 1³

(x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1

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Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha no BB há 15 anos e atua como professor de matemática nas horas vagas.

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