QUESTÃO 145. A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1 , P2 e P3 , os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.
Resolução
Observe que as distâncias entre os 3 postos de saúde são iguais, assim como as distância entre cada um dos postos de saúde e o hospital.
Observe que temos três ângulos de 120º e podemos construir um triângulo retângulo onde um dos ângulos internos é igual a 60º.
Podemos calcular a distância x entre o hospital e cada um dos postos da seguinte forma:
sen60º = 5 / x
√3 / 2 = 5 / x
√3 . x = 2 . 5
√3 . x = 10
√3 . x . √3 = 10. √3
3x = 10√3
x = 10√3/3
x = 10(1,7)/3
x = 17/3
x = 5,6
Resposta: C