Procurando exercícios resolvidos sobre as Cadeias de Markov? Veja aqui várias questões comentadas, todas retiradas dos últimos concursos públicos.
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Bom estudo!
Questão 1 (CESPE 2011 – Analista de Correios – Estatístico). Uma cadeia de Markov é denominada irredutível (ou ergódica) caso qualquer estado possa ser transformado em qualquer outro estado, não necessariamente em um único passo. Uma cadeia de Markov com matriz de transição P é regular caso exista um número inteiro positivo n tal que todos os elementos da matriz potência Pn sejam estritamente positivos.
Julgue o seguinte item a respeito desses conceitos.
“O dígrafo abaixo representa uma cadeia de Markov regular.”
Resolução
O dígrafo pode ser representado pela seguinte matriz de transição:
Tem dúvidas acerca da formação da matriz de transição?
Note que o elemento p23 é igual a probabilidade de chegar em 3, saindo de 2.
Por definição, uma cadeia de Markov é regular se existe um natural r0 tal que para todo r≥r0, (pij)r > 0, ∀i,j∈S. Ou seja, se existe uma potência de P com todas as entradas positivas.
Observe que para qualquer valor de n, Pn terá todos os elementos maiores que zero, ou seja, matriz regular.
Resposta: Certo
Questão 2 (CNJ 2013 – CESPE – Analista Judiciário). A população de um país é dividida em classes alta (A), média (M) e baixa (B). Um estudo estatístico mostra que, atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B. Considera-se um modelo simplificado para as mudanças de classes, na forma de uma cadeia de Markov, em que as mudanças de uma geração para a próxima acontecem de acordo com a seguinte matriz de transição:
Assim, por exemplo, as probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.
a) Se o modelo descrito valer por tempo indeterminado, então as proporções das classes A, M e B tenderão para as probabilidades estacionárias 2/7, 2/7 e 3/7, respectivamente.
Resolução
Sejam a, m e b as probabilidades estacionárias referentes as classes A, M e B.
As probabilidades dos filhos de uma família da classe A pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 90%, 10% e 0%, respectivamente.
a = 0,9a + 0,1m
As probabilidades dos filhos de uma família da classe M pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 10%, 60% e 30%, respectivamente.
m = 0,1a + 0,6m + 0,2b
As probabilidades dos filhos de uma família da classe B pertencerem às classes A, M ou B são iguais a 0%, 30% e 80%, respectivamente.
b = 0,3m + 0,8b
Temos também que:
a + m + b = 1
O nosso objetivo será resolver o sistema de equações abaixo:
a = 0,9a + 0,1m (I)
m = 0,1a + 0,6m + 0,2b (II)
b = 0,3m + 0,8b (III)
a + m + b = 1 (IV)
Manipulando as equações I, II e III:
a – m = 0
a – 4m + 2b = 0
3m – 2b = 0
a + b + m = 1
Como o nosso objetivo é estudar as Cadeias de Markov, a resolução do sistema linear será omitida. Caso tenha alguma dúvida sobre o assunto, clique aqui.
Temos:
a = 2/7
m = 2/7
b = 3/7
Resposta: Certo
b) Na próxima geração, 13% da população pertencerá à classe A, 35% à classe M e 52% à classe B.
Resolução
Resolveremos a questão analisando agora as colunas da matriz de transição.
As colunas 1, 2 e 3 nos informam as chances de um indivíduo da próxima geração pertencer às classes A, M e B. Utilizaremos a informação do enunciado, que diz “atualmente, 10% da população pertence à classe A, 40% à classe M e 50% à classe B”
Classe A (coluna 1):
0,9 . 10% + 0,1 . 40% + 0 . 50% = 9% + 4% + 0% = 13%
Classe M (coluna 2):
0,1 . 10% + 0,6 . 40% + 0,2 . 50% = 1% + 24% + 10% = 35%
Classe B (coluna 3):
0 . 10% + 0,3 . 40% + 0,8 . 50% = 0% + 12% + 40% = 52%
Resposta: Certo
c) Na hipótese de que o modelo tenha sido válido para a formação da geração atual, então as classes A, M e B na geração anterior eram formadas por 5%, 30% e 65% da população, respectivamente.
Resolução
A resolução do item c é praticamente igual ao item b, a diferença é que agora nós queremos saber a geração anterior, e não a próxima.
Sejam x, y e z os valores referentes as classes A, M e B na geração anterior, e 0,1, 0,4 e 0,5 os valores referentes a geração atual.
Classe A (coluna 1):
0,9x + 0,1y + 0z = 0,1
Classe M (coluna 2):
0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4
Classe B (coluna 3):
0x + 0,3y + 0,8z = 0,5
O nosso objetivo será verificar se {5%, 30%, 65%} é a solução do sistema abaixo.
0,9x + 0,1y = 0,1
0,1x + 0,6y + 0,2z = 0,4
0,3y + 0,8z = 0,5
Basta analisarmos a primeira equação para termos certeza que {5%, 30%, 65%} não é o conjunto solução.
Resposta: Errado
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1) Um escritório de advocacia emprega 4 tipos de advogados: advogado junior, advogado pleno,
advogado sênior e associado. Durante um ano qualquer, há uma probabilidade de 0,20 de que um
advogado junior seja promovido para um advogado pleno, e 0,10 de que ele deixe a firma; há
uma probabilidade de 0,15 de que um pleno passe a sênior e 0,05 de que deixe a firma; há uma
probabilidade de 0,20 de que um advogado sênior seja promovido para associado, e 0,10 de que
ele deixe a firma; e uma probabilidade de 0,05 de que um associado deixe a firma. O escritório
nunca demite um advogado; um advogado junior não pode ser promovido a associado ou sênior
e um pleno não pode ser promovido a associado e nenhum advogado pode ser rebaixado. Sabendo
que Carlos está começando hoje, qual a probabilidade de ele chegar a advogado associado daqui
a 4 anos.
2) Um escritório possui dois computadores para executar o trabalho diário. Observou-se que quando
os dois computadores estão funcionando de manhã, existe uma probabilidade de 30% que um
deles pare de funcionar até de noite e 10% que os dois parem de funcionar. Se apenas um
computador estiver funcionando no início do dia, existem 20% de chance que ele deixe de
funcionar até o fim do dia. Se nenhum computador estiver funcionando pela manhã, o escritório
envia todo o serviço para ser executado externamente. Neste caso não haverá falha das máquinas
durante o dia. Os consertos são executados em uma loja próxima. Os computadores são levados
durante o dia e devolvidos em condições de operação na manhã seguinte. O intervalo de um dia
ocorre quando uma ou ambas as máquinas estão sendo consertadas.
a) Construir a matriz de transição neste caso.
b) Construir a matriz de transição se a operação de reparo levar 2 dias, sabendo que apenas
uma máquina pode ser consertada de cada vez.
FERNANDO MORI |
3) As ações de uma dada companhia X, podem apresentar alta, permanecer estável ou apresentar
baixa em cada pregão. Foi observado que após uma alta das ações, a chance de no pregão seguinte,
ocorrer novamente alta é de 35 %, de permanecer estável é 25 % e de ocorrer baixa é de 40 %.
Quando em dado pregão as ações permanecem estáveis, as chances de ocorrer alta, permanecer
estável e ocorrer baixa das ações, no pregão seguinte são, respectivamente 30 %, 35 % e 35 %.
Por outro lado, após uma baixa em determinado pregão, as chances de ocorrer alta, das ações
permanecerem estáveis e ocorrer baixa no pregão seguinte, são de 20 %, 45% e 35 %,
respectivamente. Uma segunda companhia, Y, apresenta as probabilidades de transição entre
pregões dada pela matriz de transição abaixo:
A E B
A 0,40 0,30 0,30
P = E 0,25 0,50 0,25
B 0,35 0,40 0,25
Com essas informações, determine:
a) Sabendo que no pregão de hoje as ações da companhia X tiveram baixa, qual a probabilidade de ocorrer
alta daqui a três pregões?
b) Em ações de qual companhia, X ou Y, deveríamos investir, se desejamos um resgate a longo prazo.