EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE PROBABILIDADE

Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre probabilidade, todos retirados dos últimos concursos públicos realizados pelo país.

O ideal é que o estudante leia primeiro o nosso conteúdo sobre o assunto e também sobre análise combinatória.

Bom estudo.

 

 

Questão 1 (BNB – FGV 2014). Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:

a) 2/13

b) 4/13

c) 5/13

d) 6/13

e) 7/13

 

Resolução:

Sabemos que para calcular probabilidade, basta dividirmos o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.

Como ele tem pelo menos uma nota de cada, então ele consegue formar 80,00 com uma de 10, uma de 20 e uma de 50.

 

Temos que saber como podemos formar os outros 120,00. Vamos dividir em casos:

 

– Se ele não possuir mais notas de 50, teremos que formar 120,00 com notas de 10 e 20:

São 7 opções: 12 notas de 10; 1 de 20 e 10 de 10; 2 de 20 e 8 de 10; 3 de 20 e 6 de 10; 4 de 20 e 4 de 10; 5 de 20 e 2 de 10; 6 de 20.

 

– Se ele possuir mais uma nota de 50, teremos que formar 70,00 com notas de 10 e 20:

São 4 opções: 7 notas de 10; 1 de 20 e 5 de 10; 2 de 20 e 3 de 10; 3 de 20 e 1 de 10.

 

– Se ele possuir mais duas notas de 50, teremos que formar 20,00 com notas de 10 e 20:

São 2 opções: 1 de 20 ou 2 de 10.

 

Verificamos que o número de casos possíveis é 7 + 4 + 2 = 13

Para contarmos o número de casos favoráveis, devemos considerar as opções onde ele tem pelo menos duas notas de 50, ou seja, 4 + 2 = 6.

Probabilidade = 6/13

Resposta: D

 

 

Questão 2 (BB – Cesgranrio 2012). Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?

(A) 1/8

(B) 1/4

(C) 1/3

(D) 1/2

(E) 3/4

 

Resolução:

Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1)

Segunda jogada: só serve o resultado que não aconteceu da primeira vez (probabilidade igual a ½)

Terceira jogada: só serve o mesmo resultado que aconteceu na segunda jogada (probabilidade igual a ½)

Logo: 1 x ½ x ½ = ¼

Resposta: B

 

 

Questão 3 (BB – FCC 2011). Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:

(A) 5/14

(B) 3/7.

(C) 4/7.

(D) 9/14.

(E) 5/7

 

Resolução:

Dica: Quando aparecer na questão “pelo menos um”, devemos encontrar a probabilidade de não acontecer nenhum,  ou seja, de não termos brasileiros no pódio, e depois diminuirmos de 1.

Probabilidades:

De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4

De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7 (desconsideramos a medalha de ouro)

De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3 (desconsideramos as medalhas de ouro ou prata)

 

Então:

P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 5/14

P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14

Resposta: D

 

 

Questão 4 (BB – Cesgranrio 2010). Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é

exercicios resolvidos sobre probabilidade bb 2010

 

Resolução:

Sejam os eventos:

A = Selecionar amarelas

B = Selecionar azuis

C = Selecionar verdes

 

Queremos calcular a probabilidade de selecionarmos pelo menos uma bola de cada cor, ou seja, P(A∩B∩C).

Veja no diagrama ao lado que P(A∩B∩C) = P(A∪B∪C) – P(A∪B) – P(A∪C) – P(B∪C) + P(A) + P(B) + P(C)

 

Temos que:
prova-resolvida-bb-2010-3

 

prova-resolvida-bb-2010-4

Resposta: A

 

 

Questão 5 (TRT – CESPE 2009). Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação.

Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados.

Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue os itens a e b que se seguem.

 

a) Se um dos bacharéis em direito do estado do Espírito Santo inscritos no primeiro exame da OAB, em 2007, fosse escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele não ter sido um dos aprovados no exame seria superior a 70% e inferior a 80%.

Inscritos: 1472

Reprovados: 1472 – 313 = 1159

1159/1472 = 0,787 = 78,7%

Resposta: CERTO

 

 

b) Considerando que, na primeira fase do exame da OAB de 2008, 87,21% dos bacharéis em direito da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) tenham sido aprovados, a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFPE que fizeram esse exame será maior que a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFES e que também fizeram o exame da OAB.

Probabilidade de se escolher um aprovado entre os alunos da UFPE: 87,21%

Probabilidade de se escolher um aprovado entre os alunos da UFES: 39/44 = 0,8864 = 88,64%

Resposta: ERRADO

 

 

Questão 6 (Caixa – CESPE 2006). Leia o texto e as figuras abaixo e analise a veracidade das afirmações a e b.prova-resolvida-caixa-2006-7

Conheça o título de pagamento único CAIXACAP DA SORTE, da CAIXA CAPITALIZAÇÃO, e dê mais chances à sua sorte. Você escolhe o valor que quer investir, de R$ 200,00 a R$ 900,00, múltiplos de R$ 100,00, paga uma única vez e concorre, todo mês, a 54 prêmios de até R$ 700 mil. E, ao final do prazo de capitalização, você recebe 100% do valor guardado, atualizado pela taxa referencial de juros (TR). Além dos sorteios mensais, tem o sorteio nos meses de julho durante a vigência do título, com premiação em dobro: serão 2 clientes contemplados com o prêmio de até R$ 700 mil. Além de tudo isso, em julho de 2007 ocorrerá o sorteio especial, quando você concorrerá durante 1 semana a 7 prêmios, um por dia, de até R$ 1 milhão, como mostra a tabela abaixo. Os sorteios serão realizados pela Loteria Federal do Brasil, sempre no último sábado de cada mês. Se você for sorteado, continua concorrendo, exceto ao sorteio especial, realizado em julho de 2007.

prova-resolvida-caixa-2006-8

 

a) A probabilidade de um detentor de um título CAIXACAP DA SORTE ser sorteado durante a vigência do título é igual a 1/(36×54), independentemente do número total de detentores desses títulos.

Resolução

A probabilidade sempre depende da quantidade de concorrentes.

Resposta: ERRADO

 

b) Ao longo dos 36 meses de capitalização, o detentor de um único título CAIXACAP DA SORTE tem a possibilidade de ganhar no máximo R$ 1 milhão.

Resolução

O texto nos diz que o ganhador continua concorrendo, exceto pelo prêmio especial. Para provarmos que o enunciado está errado, basta imaginarmos um sortudo que ganhe 10 vezes o prêmio principal mensal.

Resposta: ERRADO

 

 

Espero que todos tenham curtido nossos exercícios resolvidos sobre probabilidade.

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Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

40 comentários

  1. Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa, possuidora dos bilhetes 1387 e 7502, ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero?

  2. gostei muito,agora estou pronta para prova.

  3. Evelin Thais

    Ola Boa tarde.

    Poderia me tirar uma dúvida?!

    1) O quadro funcional de uma empresa é composta de 35 pessoas efetivas e 15 prestadoras de serviço. Do pessoal efetivo 20 são homens e do pessoal prestador de serviço 5 são mulheres. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa empresa, a probabilidade dessa pessoa ser homem ou prestador de serviço é:
    * 20%
    *70%
    *90%
    *60%
    *80%

    • 30/50 + 15/50 – 10/50 = 30/50 = 0,7 x 100 = 70%

      • **** 60%. Já que 30/50 = 0,6 . 0,6 x 100 = 60% (:

      • oi. Da onde você tirou esse -10/50 ?

        • Oi Aline,
          Os 30/50 são o total de homens (20 efetivos e 10 prestadores de serviço)
          Os 15/50 são o total de prestadores de serviço
          Esses -10/50 representa o total de homens que também são prestadores de serviço porque em cima se você perceber eles são contados duas vezes(uma vez no total de homens e outra nos prestadores) aí subtraímos para que não sejam contados de novo.

      • Ismael Barreto

        olá, acho que o resultado está correto, mas é 35/50 e não 30/50

    • carlos gaviao

      bom dia peso ajuda com a resolucao deste problema

      1. Suponha que a UCM emprega 2000 membros do sexo masculino e 500 do sexo feminino. A lei da igualdade das oportunidades de emprego, sugere a criação de uma amostra aleatória estratificada de 200 elementos do sexo masculino e outros 200 do sexo feminino.
      a) Qual é a oportunidade de um membro do sexo feminino ser escolhido para integrar a amostra?
      b) Qual é a oportunidade de um membro do sexo masculino ser escolhido?
      c) A cada elemento da amostra é colocada a questão: – ” Na sua opinião, os membros do sexo feminino desta universidade são, em geral, mais mal pagos do que os do sexo masculino, quando desempenham as mesmas funções e têm as mesmas qualificações?”
       180 das 200 senhoras (90 por cento) responderam que ”sim”
       60 dos 200 homens (30 por cento) responderam que ”sim”
      Daqui se conclui que 240 elementos da amostra de 400 sujeitos (60 por cento) responderam que ”sim” e o coordenador deste estudo registou o seguinte: ”…. “aseado numa amostra, podemos concluir que 60 por cento dos membros de toda a Universidade pensam que as senhoras recebem vencimentos mais baixos do que os homens.”
      Explique porque razão esta conclusão está errada. Qual deveria ser essa percentagem?

  4. Por favor como seria a resolução dessa questão:
    Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em
    um cartão e todos os cartões são colocados em uma urna.
    Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem
    reposição, dois cartões.
    A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o
    outro cartão retirado conter a letra C é de:

    • Acredito que seja 1/156 ou 0,641%
      Quantidade de letras S=1
      Quantidade de letras C=1
      Como na questão ele pede a primeira com S E(multiplicação) a segunda com C, sem reposição dos cartões, temos:
      P(AeB)=(1/13)x(1/12)=1/156

      • Obrigada Rafael.
        Mas no gabarito a resposta era 1/78. Acredito que soma-se 1/156 (a primeira pode ser S ou C) + 1/156 (a segunda pode ser S ou C) = 2/156=1/78

        • Gisele,

          Bom, na verdade a explicação é o seguinte: Como o exercício não está pedindo se os cartões estão em ordem de retiradas, na primeira vez que eu for retirar, posso tirar tanto o S como o C, fazendo com que eu tenha 2 possibilidades em 13, após retirado 1 cartão, sobrarão 12, se eu tirei o C na primeira tentativa, agora precisarei tirar o S e vice versa, então só me sobrará 1 possibilidade em 12, pois não houve reposição.

          Multiplicando os eventos distintos:
          2/13 * 1/12 = 2/156 ou 1/78

  5. Maria Regina Durski

    Por favor, como resolvo este problema: No patio do detran um inspetor encarregado de vistoriar 10 carros, sendo 5 carros de cor prat, 3 carros de cor preta e 2 carros de cor vermelha. Para iniciar inspecoes ele sorteou aleatoriamente, de uma unica vez, dois desses carros . A probabilidade de que pelo menos um dos dois carros sorteados seja de cor prata e igual a…

    • eu acho que é de 50% a chance de sair um carro da cor prata pois se tem 5 , ou seja corresponde a metade do valor total de carros !

  6. POXA EU ACHO QUE É 90% POIS 30/50 É A QUANTIDADE DE HOMENS , 15/50 DE PRESTADORES DE SERVIÇO ,ENTÃO 30/50 : 0.6 , 15/50 : 0.3 E O RESTANTE SÃO DE MULHERES OU SEJA 0.1 ,0.6+0.3 :0.9 X 100 : 90 % !

  7. Caríssimos,

    Podem responder, por favor?

    1.Um novo produto de consumo foi desenvolvido por pesquisadores com base no fato de que 50% de todos os consumidores são homens. Considere uma amostra de 400 compradores selecionada aleatoriamente.
    Calcule a probabilidade de o número de homens dessa amostra ser maior do que 175.

    2.Considere o salário semanal dos trabalhadores operários de uma indústria de construção civil distribuído normalmente em torno de uma média de $ 80,00, com desvio-padrão de $ 5,00
    Calcule o valor do salário para selecionarmos 10% dos operários com maiores remunerações.

    Grata!

  8. Katia Bandeira

    Por favor , poderiam me responder?
    Um casal pretende ter quatro filhos. Qual a prob. de serem dois meninos e duas meninas ?
    Obrigada

  9. . A caixa X tem 8 objetos, sendo que 3 são defeituosas. A caixa Y tem 5 objetos, sendo que 3 deles são defeituosos. Um
    objeto é retirado aleatoriamente de cada caixa. Se um deles é defeituoso, e o outro não, então a probabilidade de o
    defeituoso ter vindo da caixa X é igual a
    A) 5/19
    B) 7/19
    D) 19/40
    C) 9/19
    E) 9/40

  10. Por gentileza qual seria a resposta dessa questão?
    Os dados meteorológicos de determinada localidade indicam que, nos últimos 100 anos, a temperatura máxima do primeiro dia de verão excedeu a 75 graus em 79 dos anos.
    a) Estime a probabilidade de que tal ocorra o primeiro dia de verão deste ano.
    b) Que hipótese levantou quanto à comparabilidade dos anos? É razoável essa hipótese?

  11. Juliano Soares Castilhos

    Uma Turma de estatística é composta de 23 homens e 27 mulheres. Vamos sortear 3 alunos para participarem de uma comissão de formatura. Qual a probabilidade de que a comissão seja formada:

    a) Somente por homens?
    b) por 1 homem e 2 mulheres?

  12. gilnei pereira

    Boa noite!Gostaria que me auxilia-se na resolução das seguintes questões:
    1-Numa população onde 40% dos indivíduos têm alguma descendência indígena, retira-se uma
    amostra aleatória de 4 pessoas. Qual é a probabilidade de se encontrar:
    (a) exatamente 2 pessoas com descendência indígena?
    (b) mais de 2 pessoa(s) com descendência indígena?
    2-Um grupo de 16 elementos apresenta a seguinte composição:
    Categoria Homens Mulheres
    Menores 8 2
    Adultos 5 1
    (a) Qual a probabilidade de ser homem?
    (b) Qual a probabilidade de ser adulto?
    (c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher?
    (d) Sabendo-se que o elemento escolhido ´e adulto, qual a probabilidade de ser homem?
    (e) Dado que a escolhida ´e mulher, qual a probabilidade de ser menor

  13. Nísia Salles

    Em uma população, a probabilidade de um indivíduo está estressado é 1/25. Quando um individuo está estressado, a probabilidade dele se recuperar é 1/4, portanto qual a probabilidade de um individuo dessa população, escolhido aleatoriamente se recuperar? Qual a solução para esta questão?

  14. gente uma ajuda por favor com uma questão!? 9) Na lista de chamada de uma turma, os 30 alunos são numerados de 1 a 30. Em certo dia quando faltaram os alunos de números 11 e 26, o professor sorteou um aluno para resolver uma atividade na lousa. Qual é a probabilidade de o número do aluno que irá a lousa ser: A) menor que 9 B) múltiplo de 4 C) primo D) primo E) maior que 12 e menor que 25

  15. Abaixo tem-se os tempos de ruptura de quinze corpos de prova de concreto, em segundos.
    2,34 3,02 3,12 3,14 3,79 4,21 4,50 4,77 5,12 5,13 5,55 6,10 6,46 6,29 0,38
    Encontre os limites inferior e superior do gráfico Box-plot para esta amostra e baseado neles, verifique se há algum tempo que pode ser considerado não usual (fora do padrão).

  16. O tempo de fabricação de uma lâmpada segue uma distribuição uniforme no intervalo [10,12], onde o valor é medido em dias. A empresa considera a produção como eficiente se foi produzida em menos de 10 dias e 12 horas. Determine a probabilidade da fábrica produzir eficientemente uma lâmpada.

  17. Renata está grávida e realizará um exame que detecta o sexo do bebê. Se o exame detectar que é um menino, a probabilidade de ela pintar o quarto do bebê de azul é de 70%, ao passo que de branco é de 30%. Mas, se o exame detectar que é uma menina, a probabilidade de ela pintar o quarto do bebê de rosa é de 60% contra 40% de pintar de branco. Sabendo-se que a probabilidade de o exame detectar um menino é de 50%, a probabilidade da Renata pintar o quarto do bebê de branco é de
    a) 70%
    b) 50%
    c) 35%
    d) 30%
    e) 20%

    Alguém pode me ajudar com esse exercício? sei que a resposta é 35 %, mais quero saber como chegar lá passo a passo.

  18. Três brasileiros , dois espanhóis e um alemão disputarão uma corrida.Determine a probabilidade de um brasileiro termina em primeiro lugar e o alemão terminar em segundo lugar.Alguém pode me ajudar nesse exercício?

  19. Francisco, entendo que 3 brasileiros, 2 espanhóis e 1 alemão, perfazendo um total de 6 pessoas. Se um dos brasileiros termina em 1º , então é 3 em 6; agora só sobraram 5 para concorrerem o 2º lugar, então é 1 em 5. O “e” é multiplicação: 3/6 x 1/5 = 3/30 = 1/10 = 10%

  20. Tais, Bom Dia. desculpe-me a demora, mas só hoje é que vi a sua solicitação. Entendo que a maior dificuldade desta questão é que as letras A),B),C),D) e E), não são alternativas de resposta, mas são itens a serem calculados. são 30 alunos (o de número 11 e o de número 16 faltaram) então o meu espaço amostral foi reduzido para 28. Qual a probabilidade de o numero do aluno sorteado ser:
    A) menos que 9? (1,2,3,4,5,6,7,8) = 8/28 =2/7
    B) múltiplo de 4? (4,8,12,16,20,24,28) = 7/28 = 1/4
    C) e D) primo (2,3,5,7,11,13,17,19,23) o de número 11 não pode ser sorteado porque faltou à aula. Logo só são 8/28 = 2/7
    E) de 13 a 24, tudo depois do 11 e antes do 26, portanto os dois faltosos não influenciam o numerador.
    logo o cálculo será 12/28 =3/7.
    Espero ter lhe ajudado para os próximos concursos.

  21. Ola, tenho uma questão que gostaria de ver se alguem tem como resolver
    Consideremos três apostadores chamados A, B e C. Eles lançam
    sucessivamente uma mesma moeda com probabilidade de dar cara igual
    a 1/2, na ordem a seguir:
    O apostador A lança primeiro, logo segue B e finalmente C. O jogo consiste
    em lançar a moeda até obter a primeira cara. Ganha o jogo o apostador
    que conseguir obter primeiro uma cara. Assuma que os lançamentos são
    independentes. Indique qual é a probabilidade do apostador B ganhar o
    jogo.

  22. mais uma questão que preciso de ajuda, desenvolvi e encontro resultado diferente do gabarito.Num grupo de 10 pessoas, há 4 homens e 6 mulheres. Dentre os homens
    3 são canhotos e dentre as mulheres 2 são canhotas. Selecionadas duas
    pessoas aleatoriamente e sem reposição do grupo, qual a probabilidade
    de que a amostra contenha pelo menos uma pessoa destra ou pelo menos
    uma mulher?
    encontro 7/15 e gabarito diz 14/15

  23. nurce Raul Américo estudante

    Gostei muito da aula

  24. Cecilia Isabel

    As explicacões são claras deu para perceber, mas não tanto para fazer-me perceber o exercício q tenho a resolver, me podiam ajudar?

    Uma empresa paga um bônus para quatro funcionários A, B, C e D.
    A recebe quatro vezes tanto quanto B
    B recebe 50% do valor pago a c
    C e D obtêm o mesmo valor.

    Se o total for 180.000, quanto receberá cada um?

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