PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS OU DAS GAVETAS

Estudando matemática para concursos? Confira aqui tudo sobre o princípio da casa dos pombos, também conhecido como princípio das gavetas.

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Bom estudo!

 

 

Vamos imaginar que temos que colocar 5 pombos em 4 casas. O que podemos afirmar com certeza é que em alguma casa haverá mais de um pombo. Sempre que a quantidade de pombos for maior que a quantidade de casas, alguma casa abrigará mais de um pombo. Foi estudando esses tipos de problemas que desenvolveu-se o Princípio da Casa dos Pombos.

Da mesma forma, se eu tenho um armário com 3 gavetas e possuo 4 meias que são guardadas nessas gavetas, também posso afirmar que uma das gavetas conterá mais de uma meia. Por isso o estudo deste tipo de problema também é chamado de Princípio das Gavetas.

De fato, trata-se da mesma coisa. Como é mais usual, a partir de agora vamos utilizar somente a expressão Princípio da Casa dos Pombos.

 

Para entendermos melhor o princípio, vamos voltar ao exemplo inicial das 4 casas para 5 pombos.

Vamos tentar colocar um pombo em casa casa:

  • O primeiro pombo será colocado na casa 1;
  • O segundo na casa 2;
  • O terceiro na casa 3;
  • O quarto na casa 4;
  • E o quinto? Obrigatoriamente terá que escolher uma casa que já está ocupada.

 

 

Podemos resumir o Princípio da Casa dos Pombos da seguinte forma:

Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então pelo menos uma casa deverá conter dois ou mais pombos.

Matematicamente falando, quando o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função f: A → B não pode ser injetiva.

 

Dicas para resolver exercícios envolvendo o Princípio da Casa dos Pombos:

  • Identificar quais são as “casas” e quais são os “pombos”;
  • Organizar os pombos nas casas;
  • Verificar a relação entre pombos e casas.

 

 

Exemplo 1: Quantos alunos devem ter em uma sala de aula, de modo que tenhamos certeza de que pelo menos dois deles fazem aniversário no mesmo mês?

Podemos considerar:

Casas: meses

Pombos: alunos

Relação: aluno com o respectivo mês de aniversário

Pelo Princípio das Gavetas, se tentarmos “encaixar” um aluno em cada mês, o 13º aluno fará aniversário no mesmo mês de outro aluno. Assim, podemos concluir que se existirem 13 alunos, pelo menos dois deles farão aniversário no mesmo mês.

 

 

Exemplo 2: Uma urna contém 4 tipos de bolas (vermelhas, pretas, rosas e brancas). Quantas bolas devemos retirar, de modo que possamos garantir que tenhamos duas bolas da mesma cor?

Quando retiramos as 4 primeiras bolas da caixa, a pior hipótese possível é que cada uma seja da mesma cor.

Assim, é necessário retirar uma quinta bola para garantirmos que haverá repetição de cor.

 

 

Exemplo 3: Em um laranjal existem 50 pés de laranja. Sabemos que cada uma delas não produz mais do que 60 laranjas por temporada. Será que existem pés de laranja que produzem a mesma quantidade de frutos?

Casas: quantidade de laranjas

Pombos: Pés de laranja

Vamos considerar a pior situação possível, onde os 50 primeiros pés de laranja produziram 1, 2, 3, 4, …, 50 frutos, respectivamente. Neste caso, obrigatoriamente, os outros 10 pés de laranja deveram repetir a quantidade de frutos. De onde podemos afirmar que existem, pelo menos, dois pés com a mesma quantidade de laranjas.

 

 

O que achou do Princípio da Casa dos Pombos?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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