Dando continuidade ao estudo da reta na geometria analítica, vamos falar um pouco sobre as retas paralelas.
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Bom estudo!
Dizemos que duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum.
A linguagem matemática utilizada para informar que as retas r e s são paralelas é r ⁄ ⁄ s.
Na figura é possível observar que as retas são paralelas porque possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem os mesmos coeficientes angulares.
Utilizando a linguagem matemática, temos que:
r ⁄ ⁄ s ⇔ α1 = α2
Conclusão: A maneira mais rápida de identificarmos duas retas paralelas é comparando o coeficiente angular. Caso sejam iguais, as retas serão paralelas, caso contrário, serão concorrentes.
Obs: Devemos descartar os casos onde os coeficientes angulares são iguais assim como as equações reduzidas das retas, pois neste caso as retas serão coincidentes.
Exemplo 1. Verificar se as retas r: x + 5y + 1 = 0 e s: 2x – y + 4 = 0 são paralelas.
Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:
Reta r
x + 5y + 1 = 0
5y = -x – 1
y = -x/5 – 1/5
m = -1/5
Reta s
2x – y + 4 = 0
y = 2x + 4
m = 2
Conclusão: Os coeficientes angulares das retas r e s são diferentes, ou seja, as retas NÃO são paralelas.
Exemplo 2. Verificar se as retas r: 3x – 2y + 6 = 0 e s: -6x + 4y + 10 = 0 são paralelas.
Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:
Reta r
3x – 2y + 6 = 0
2y = 3x + 6
y = (3x + 6) / 2
y = (3/2)x + 3
m = 3/2
Reta s
-6x + 4y + 10 = 0
4y = 6x – 10
y = (6x – 10) / 4
y = (6/4)x – 10/4
y = (3/2)x – 5/2
m = 3/2
Conclusão: As retas r e s possuem o mesmo coeficiente angular e são paralelas.
Exemplo 3. Determinar a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(1, 1) e é paralela à reta s: 3x – y + 5 = 0.
Podemos determinar a equação da reta apenas conhecendo um de seus pontos e a inclinação. A questão nos informou que a reta r passa pelo ponto (1 ,1) e que deve ser paralela a reta s, ou seja, deve possuir a mesma inclinação. Nosso primeiro objetivo será calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta s.
3x – y + 5 = 0
y = 3x + 5
m = 3
Como a reta s possui coeficiente angular igual a 3, este também deve ser o coeficiente angular da reta r.
Determinando a equação da reta r, sabendo que m = 3 e que (1, 1) ∈ r:
y – y0 = m(x – x0)
y – 1 = 3.(x – 1)
y – 1 = 3x – 3
3x – y – 3 + 1 = 0
3x – y – 2 = 0
Daí, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e que é paralela à reta 3x – y + 5 = 0 é 3x – y – 2 = 0.
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