Prova resolvida – PM de Alagoas – 2021

Confira aqui a prova resolvida do concurso para a Polícia Militar do Estado de Alagoas (PM AL), realizado em 2021 pelo CESPE, para o cargo de soldado.

Cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética seguida de uma assertiva, a ser julgada com base na matemática e em suas aplicações na atividade policial.

39. Um fugitivo tenta despistar policiais, realizando uma fuga entre três cidades (A, B e C). Existem duas estradas ligando a cidade A à B e três estradas ligando a cidade B à C. Nessa situação hipotética, há 12 formas diferentes de o fugitivo ir da cidade A até a C, passando pela cidade B, voltando para a cidade A e passando novamente pela cidade B, sem repetir as estradas que usar para ir de A a C.

Resolução

Observe na figura abaixo que existem dois caminhos entre as cidades A e B, e três caminhos entre B e C.

O fugitivo deverá efetuar o seguinte trajeto:

Ida:

A → B: 2 opções

B → C: 3 opções

C → B: 2 opções, pois ele não poderá repetir as estradas

B → A: 1 opção, pois ele não poderá repetir as estradas

Total de possibilidades:

2 x 3 x 2 x 1 = 12

Resposta: CERTO

40. Em uma cidade, existem três antenas de celular — A, B e C —, representadas em um plano cartesiano de tal forma que A(0, 0), B(2, 0) e C(1/2, √3/2), em que as unidades estão em quilômetros. As antenas A e B captam um telefone celular que está em um ponto P(x0, y0) localizado a 2 km de distância de cada uma delas, e a antena C também recebe sinal desse aparelho. Nesse caso, sabendo-se que y0 > 0, conclui-se que a distância entre P e C é igual a 1 km.

Resolução

As localizações das três antenas (A, B e C) podem ser representadas em um plano cartesiano.Observe que o telefone celular está em um ponto P, localizado a 2 km de A e B, e como y0 > 0, a figura ABP possui o formato de um triângulo equilátero.

Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calcular a altura h de ABP:

2² = h² + 1²

4 = h² + 1

h² = 4 – 1

h = √3

Observe que A(0,0), C(1/2, √3/2), P(1, √3) são colineares, ou seja, podemos calcular a distância PC através do Teorema de Pitágoras:

PC² = (√3/2)² + (1/2)²

PC² = 3/4 + 1/4

PC² = 4/4

PC² = 1

PC = 1

Resposta: CERTO

41. Um corpo com temperatura inicial de 36 °C está em um ambiente cuja temperatura é de 20 °C. Nesse ambiente, vão demorar 20 minutos para que a temperatura inicial do corpo caia para 28 °C. Sabendo-se que o resfriamento de um corpo pode ser modelado pela lei do resfriamento de Newton, conforme a qual a temperatura do corpo T, em função do tempo t, em horas, é dada pela função exponencial T(t) = (Tc−Ta)10-kt + Ta, em que Tc é a temperatura inicial do corpo e Ta é a temperatura ambiente, é correto afirmar que a constante k é igual a log10(27).

Resolução

Considerando que 20 minutos é 1/3 de uma hora, podemos utilizar a função exponencial:

T(t) = (Tc − Ta)10-kt + Ta

28 = (36 − 20)10-k/3 + 20

28 – 20 = 16.10-k/3 

8 = 16.10-k/3 

10-k/3 = 8/16

10-k/3 = 1/2

Aplicando log em ambos os lados da igualdade:

log(10-k/3) = log(1/2)

(-k/3).log10 = log1 – log2

(-k/3).1 = 0 – log2

k/3 = log2

k = 3log2

Resposta: ERRADO

42. Ao analisar a média aritmética de ocorrências criminais anuais de uma região, um policial verificou que, nos 10 primeiros meses do ano, a média havia sido de 315 ocorrências por mês, contudo a média para o ano todo era 10% maior que a média dos 10 primeiros meses. Nessa situação hipotética, a média aritmética de ocorrências apenas nos dois últimos meses do ano é superior a 500 ocorrências por mês.

Resolução

Considerando que a média dos 10 primeiros meses é igual a 315 ocorrências, podemos concluir que neste período tivemos:

10 x 315 = 3150 ocorrências.

Considerando que a média para o ano todo era 10% maior que a média dos 10 primeiros meses, podemos concluir que a média foi de:

315 + 31,5 = 346,5

Considerando que x representa o total de ocorrências nos dois últimos meses do ano, a média referente aos 12 meses é dada por:

(3150 + x)/12 = 346,5

3150 + x = 346,5 . 12

3150 + x = 4158

x = 4158 – 3150

x = 1008

Como a soma dos dois últimos meses é igual a 1008, a média desses meses é dada por:

1008 / 2 = 504

Resposta: CERTO

Com relação às geometrias plana, espacial e analítica, julgue os itens que se seguem.

43. A soma dos ângulos internos de um heptágono regular é 720°.

Resolução

O heptágono regular é um polígono que possui 7 lados iguais.

Podemos calcular a soma dos ângulos internos deste tipo de figura através da seguinte fórmula:

Sn = (n – 2).180°

S7 = (7 – 2).180°

S7 = 5 . 180°

S7 = 900°

Resposta: ERRADO

44. Sendo ABC um triângulo, em que  = 45°, B̂ = 60° e AB = 1, então a altura h relativa ao vértice C tem comprimento dado por h = (3 – √3)/2

Resolução

Traçando a altura h relativa ao vértice C, o triângulo ABC será dividido em outros dois triângulos ADC e DBC.

Considere que AD = x e que DB = 1 – x.

– Triângulo ADC

tg45° = h/x

1 = h/x

x = h

– Triângulo DBC

Tg60° = h/(1-x)

√3 = h/(1-x)

√3.(1-x) = h

√3 – x√3 = h

Como x = h, temos que:

√3 – x√3 = h

√3 – h√3 = h

h + h√3 = √3

h(1 + √3) = √3

h = √3/(1 + √3)

Racionalizando:

h = √3 . (1 – √3) / (1 + √3) . (1 – √3)

h = (√3 – 3) / (1 – 3)

h =  (3 – √3)/2

Resposta: CERTO

45. A área superficial de uma pirâmide de base quadrada regular em que todas as arestas são iguais a 2 é S = 4 + 4√3.

Resolução

A figura abaixo apresenta uma pirâmide de base quadrada regular com as dimensões informadas.

Observe que a pirâmide apresenta 4 faces de formato triangular e uma face no formato de um quadrado.

Calcularemos a altura, utilizando o Teorema de Pitágoras, e em seguida a área do triângulo.

Calculando a altura do triângulo

2² = h² + 1²

4 = h² + 1

h² = 4 – 1

h = √3

Calculando a área do triângulo

A = √3.2/2 = √3

Calculando a área do quadrado

A = 2 x 2 = 4

Consideramos que temos 4 triângulos e um quadrado, é possível calcular a área superficial da pirâmide:

4 x √3 + 4 = 4 + 4√3

Resposta: CERTO

46. Dados os números complexos z = x + iy e z0 = 2 − i, em que i é a unidade imaginária, é correto afirmar que |z − z0| = 2 representa, no plano complexo, uma circunferência de raio √2 com centro no ponto z0.

Resolução

|z − z0| = 2

| (x + iy) – (2 – i) | = 2

| x + iy – 2 + i | = 2

| (x – 2) + (y + 1)i | = 2

Calculando o valor do módulo:

√[ (x – 2)² + (y + 1)² ] = 2

(x – 2)² + (y + 1)² = 2²

Observe que |z − z0| = 2 representa uma circunferência de raio 2, com centro em (2, -1), ou seja, está centralizada em z0, porém possui raio 2 e não √2.

Resposta: ERRADO

Julgue os itens a seguir, relacionados a álgebra e aritmética.

47. O resto da divisão do polinômio p(x) = 4x³ – 2x² – 3 pelo polinômio q(x) = 2x² – 1 é r(x) = 3x – 3.

Resolução

Efetuando a divisão de polinômios, temos que:

Resposta: ERRADO

48. O maior valor da função trigonométrica f(x) = sen²(x) − 4sen(x) + 5 é 10.

Resolução

Observe que sen(x) pode assumir apenas valores entre -1 e 1.

Analisando cada parte da função dada, temos que:

O valor máximo de sen²(x) é 1, quando sen(x) = -1 ou sen(x) = 1.

O valor máximo de −4sen(x) é 4, quando sen(x) = -1

Considerando sen(x) = -1, temos:

sen²(x) − 4sen(x) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10

Resposta: CERTO   

49. Se a soma dos seis primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 2 é 48, então o 5.º termo dessa progressão é 13.

Resolução

Considere uma progressão aritmética de razão 2, com 6 termos, e cuja soma dos termos seja igual a 48.

a1 = ?

r = 2

a6 = ?

S6 = 48

Pela fórmula do termo geral:

an = a1 + (n – 1)r

a6 = a1 + (6 – 1).2

a6 = a1 + 10

a1 = a6 – 10

Pela fórmula da soma dos termos:

Sn = (a1 + an).n/2

S6 = (a1 + a6).6/2

48 = (a1 + a6).3

a1 + a6 = 16

a1 = 16 – a6

Considerando que a1 = a6 – 10:

a1 = 16 – a6

a6 – 10 = 16 – a6

a6 + a6 = 16 + 10

2a6 = 26

a6 = 26/2

a6 = 13

Como a6 = 13 e r = 2:

a5 = a6 – r

a5 = 13 – 2

a5 = 11

Resposta: ERRADO 

50. Considerando-se que, em uma loja, 2 mesas e 3 cadeiras, juntas, custem R$ 1.350 e 3 mesas e 2 cadeiras custem R$ 1.650, é correto afirmar que, nessa loja, o custo de uma cadeira e uma mesa é R$ 500.

Resolução

Considere que:

M = custo de uma mesa

C = custo de uma cadeira

“2 mesas e 3 cadeiras, juntas, custem R$ 1.350”

2M + 3C = 1350

“3 mesas e 2 cadeiras custem R$ 1.650”

3M + 2C = 1650

Somando as duas equações:

2M + 3C + 3M + 2C = 1350 + 1650

5M + 5C = 3000

5(M + C) = 3000

M + C = 3000/5

M + C = 600

Resposta: ERRADO

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Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha no BB há 15 anos e atua como professor de matemática nas horas vagas.

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