Confira aqui a prova resolvida do Cadastro Nacional Unificado (CNU 2024). A prova foi elaborada pela Fundação Cesgranrio para o bloco 8 de matemática.
16. Uma bomba com vazão de 2 litros de água por segundo consegue encher uma determinada piscina, inicialmente vazia, em 4h10min.
Quantas toneladas mede a massa de água contida nessa piscina, quando cheia?
(A) 2,5
(B) 3,0
(C) 15,0
(D) 25,0
(E) 30,0
Resolução
Considerando que a vazão é de 2 litros por segundo, e que um minuto corresponde a 60 segundos, podemos calcular a vazão por minuto:
2 x 60 = 120 litros por minuto
A bomba precisa de 4h e 10min para encher a piscina, e como 1h corresponde a 60 minutos, podemos calcular o tempo necessário em minutos:
4 x 60 + 10 = 250 minutos
Agora que sabemos a quantidade de minutos e a vazão por minuto, podemos calcular a quantidade de litros de água da piscina:
120 x 250 = 30.000 litros
Considerando que 1 litro de água possui 1 kg de massa, a água contina na piscina possui 30.000 kg, ou 30 toneladas.
Resposta: E
17. Em uma loja, o preço de um determinado produto sofreu um desconto de 20% e passou a ser R$ 36,00. Mais tarde, no entanto, viu-se que tal desconto havia sido dado por engano e que o correto era que fosse dado um aumento de 20% no preço original do produto.
Se o engano não tivesse ocorrido, então, após o aumento, o preço do produto, em reais, seria
(A) 76,00
(B) 54,00
(C) 51,84
(D) 50,40
(E) 36,40
Resolução
Considere que x representa o preço do produto. Representando o desconto de 20%, temos:
x . 80% = 36
x . 0,8 = 36
x . 8/10 = 36
x = 4/5 = 36
x = 36 . 5/4
x = 180/4
x = 45,00
Calculando aumento de 20% sobre o preço original:
45 x 1,20 = 54,00
Resposta: B
18. Um setor de uma empresa é formado por 11 funcionários, dos quais 4 são estagiários e 7 são efetivos. Um grupo de 5 funcionários foi formado a partir de um sorteio aleatório entre os funcionários desse setor.
Qual é a probabilidade de o grupo formado possuir apenas um funcionário estagiário?
A) 1/4
B) 1/5
C) 4/11
D) 1/22
E) 10/33
Resolução
Utilizaremos os conceitos de análise combinatória, mais especificamente combinação, para calcularmos a quantidade de grupos com 1 estagiário e a quantidade de grupos sem restrições.
Calculando a quantidade de grupos de 5 pessoas que podem ser formados com APENAS 1 estagiário e 4 efetivos:
C4,1 = 4
C7,4 = 7!/4!3! = 7.6.5/3.2 = 35
4 x 35 = 140
Calculando a quantidade de grupos de 5 pessoas que podem ser formados com os 11 funcionários, sem restrições:
C11,5 = 11!/5!6! = 11.10.9.8.7/5.4.3.2.1 = 462
Calculando a probabilidade:
140/462 = 70/231 = 10/33
Resposta: E
19. A Figura representa um círculo cujo centro é o ponto P. O retângulo PQRS é tal que o lado PS mede 5√3/2 cm, o ponto R pertence à circunferência, e o ângulo PSQ mede 30º.
O valor numérico da medida da área do círculo, em cm², é igual a
A) 25√3/4
B) 10π
C) 25π
D) 75π/4
E) 36π
Resolução
Podemos calcular a área de um círculo conhecendo apenas a medida do seu raio.
Observando a figura, temos que o raio é igual a distância PR, diagonal do retângulo PQRS. Também é possível perceber que QS = PR, pois ambos representam a diagonal do retângulo.
Podemos calcular a distância QS, considerando que é a hipotenusa do triângulo retângulo PQS. Neste caso, utilizaremos o cosseno do ângulo PSQ (30°):
cos(PSQ) = cateto adjacente / hipotenusa
cos30° = PS / QS
cos30° = 5√3/2 / QS
√3/2 = 5√3/2 / QS
1 = 5/QS
QS = 5
Agora que sabemos que o raio da circunferência é igual a 5, podemos calcular a sua área?
A = π.r²
A = π.5²
A = 25π
Resposta: C
(A) aritmética, cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.
(B) aritmética, cujo primeiro termo é 8 e cuja razão é 4.
(C) aritmética, cujo primeiro termo é 16 e cuja razão é 8.
(D) geométrica, cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.
(E) geométrica, cujo primeiro termo é 8 e cuja razão é 4.
Resolução
Considerando que bn é uma PG cujo primeiro termo é 16 e a razão é 8, temos:
bn = {16, 16×8, 16×8², 16×8³, …}
bn = 16×8n-1
bn = 24x23(n-1)
bn = 24x23n-3
bn = 24+3n-3
bn = 23n+1
Como bn = 2an, temos:
23n+1 = 2an
an = 3n + 1
a1 = 3.1 + 1 = 3 + 1 = 4
a2 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7
a3 = 3.3 + 1 = 9 + 1 = 10
a4 = 3.4 + 1 = 12 + 1 = 13
an = {4, 7, 10, 13, …}
Observe que an é uma progressão aritmética que começa com 4 e possui razão igual a 3.
Resposta: A
21. Uma pesquisa foi feita com os funcionários de uma empresa, acerca da quantidade de eletrodomésticos que cada um possui em sua casa. Os dados obtidos na pesquisa estão representados no histograma.
A diferença entre a média aritmética e a mediana do número de eletrodomésticos presentes nas casas dos funcionários dessa empresa é
(A) 4,0
(B) 3,5
(C) 0,5
(D) 0,1
(E) 0
Resolução
Considerando a quantidade de funcionários e a quantidade de eletrodomésticos por funcionário apresentados no gráfico, podemos calcular a média aritmética da seguinte forma:
Média = (3×8 + 4×13 + 5×7 + 6×2)/30
Média = (24 + 52 + 35 + 12)/30
Média = 123/30
Média = 4,1
Calculando a mediana:
8 funcionários possuem 3 eletrodomésticos
13 funcionários possuem 4 eletrodomésticos
7 funcionários possuem 5 eletrodomésticos
2 funcionários possuem 6 eletrodomésticos
Observe que existem 30 funcionários, e como o cálculo da mediana deve considerar os funcionários nas posições 15º e 16º, e estes funcionários possuem 4 eletrodomésticos, a mediana é igual a 4.
Diferença entre Média e Mediana:
4,1 – 4 = 0,1
Resposta: D
22. Em uma fábrica, há dois tanques, um no formato de um cilindro circular reto, com raio de base medindo R e altura medindo 2y, e outro no formato de um cone circular reto, com raio de base medindo 2R e altura medindo y, como indicado na Figura.
Considere que esses dois tanques estejam inicialmente vazios e despreze a espessura de suas superfícies. Sabe-se que uma torneira, de vazão constante, levou 2 h 24 min para encher completamente o tanque cilíndrico.
O tempo necessário e suficiente para que essa mesma torneira, com a mesma vazão, encha completamente o tanque cônico é de
(A) 1 h 24 min
(B) 1 h 36 min
(C) 1 h 54 min
(D) 2 h 24 min
(E) 3 h 36 min
Resolução
Volume do tanque cilíndrico:
Vcilindro = h.π.r²
Vcilindro = 2y.π.R²
Vcilindro = 2(y.π.R²)
Volume do tanque cônico:
Vcone = h.π.r²/3
Vcone = y.π.(2R)²/3
Vcone = y.π.4R²/3
Vcone = (4/3).(y.π.R²)
Considerando o volume do cilindro e do cone, é possível perceber que o tanque cilíndrico possui volume maior que o tanque cônico. Podemos calcular a razão entre eles:
2 / (4/3) = 2.(3/4) = 3/2 = 1,5
Observe que o cilindro possui limite 50% maior que o do cone.
Considerando que a torneira enche o tanque cilíndrico em 2 h 24 min, e que este tempo equivale a 144 minutos, podemos calcular a quantidade de minutos necessários para encher o tanque cônico.
144 / 1,5 = 96 minutos = 1 h 36 min
Resposta: B
23. Em um domingo decisivo de um campeonato de futebol, um canal de TV destinará um período da sua grade de programação à cobertura de três partidas, que ocorrerão em horários diferentes. As três coberturas terão a mesma duração, ocorrerão uma após a outra e totalizarão 7 horas e 5 minutos. Dessa forma, cada uma das três coberturas deverá durar P horas, Q minutos e R segundos, em que P, Q e R são números naturais, com Q < 60 e R < 60.
Sendo assim, o valor de P + Q + R é igual a
(A) 63
(B) 65
(C) 68
(D) 72
(E) 74
Resolução
As três coberturas terão duração de 7 h e 5 min, tem intervalos. Transformando esse tempo em minutos:
7 x 60 + 5 = 420 + 5 = 425 minutos
Como 425 não é um número divisível por 3, vamos transformá-lo em segundos:
425 x 60 = 25500 segundos
Dividindo 25500 por três:
25500 / 3 = 8500
Transformando 8500 segundos em minutos:
8500 / 60 = 141,66…
Como 60 x 141 = 8460, temos:
8500 seg = 141 minutos e 40 segundos
Transformando os 141 minutos em horas, cada cobertura terá exatamente:
2 h 21 min 40 s
Calculando a soma:
2 + 21 + 40 = 63
Resposta: A
24. Em cada partida de futebol profissional, atuam exatamente dois árbitros assistentes, mais conhecidos como bandeirinhas. Em um torneio, ficou estabelecido que cada bandeirinha pode atuar em mais de uma partida, porém a mesma dupla de bandeirinhas não pode ser repetida, ou seja, a mesma dupla não pode atuar em mais de uma partida.
Nessas condições, dispondo-se de apenas 8 bandeirinhas, o número máximo de partidas que podem ser realizadas é igual a
(A) 16
(B) 28
(C) 36
(D) 56
(E) 64
Resolução
Observe que a cada jogo serão escolhidos 2 bandeirinhas entre 8 disponíveis. As duplas não podem se repetir. Temos aqui uma combinação de 8, tomados 2 a 2:
C8,2 = 8!/6!2! = 8.7/2 = 28
Resposta: B
25. Em dezembro de 2023, dois irmãos, P e R, decidem investir em dólares, guardando-os cada um em suas respectivas casas. Na ocasião, P possui 3000 dólares, e R, 4000 dólares. A cada mês e começando em janeiro de 2024, P acrescenta 100 dólares à sua quantia, e R acrescenta 60 dólares à sua.
Certo dia, P diz a R:
— Mesmo tendo sido a minha quantia inicial menor do que a sua, em breve terei um investimento maior do que o seu, pois meu aporte mensal de 100 dólares é maior do que o seu de 60 dólares.
Então, R completou fazendo a seguinte previsão:
— Um dia o seu investimento será o dobro do meu.
Supondo-se que os aportes mensais se mantenham e nenhuma retirada ocorra, a previsão de R
(A) nunca será realizada.
(B) será realizada antes do ano 2034.
(C) será realizada entre os anos 2034 e 2044.
(D) será realizada entre os anos 2044 e 2054.
(E) será realizada depois do ano 2054.
Resolução
Investimento inicial de P: 3000
01/2024: 3100
02/2024: 3200
03/2024: 3300
…
Investimento inicial de R: 4000
01/2024: 4060
02/2024: 4120
03/2024: 4180
…
Observe que temos duas progressões aritméticas, que podem ser representadas pelas seguintes funções, onde n representa a quantidade de meses:
P(n) = 3000 + 100n
R(n) = 4000 + 60n
Precisamos calcular quando a previsão de R será realizada, ou seja, P(n) = 2.R(n):
3000 + 100n = 2(4000 + 60n)
3000 + 100n = 8000 + 120n
120n – 100n = 3000 – 8000
20n = -5000
n = -5000/20
n = -250 meses
Como n<0, que representa a quantidade de meses, podemos concluir que a previsão de R não se realizará.
Resposta: A
26. Um pai envia, no grupo da família, em certa rede social, a seguinte mensagem para as suas quatro filhas, P, Q, R e S:
Queridas, sei que vocês já estão grandinhas, mas deixei dinheiro em cima da geladeira, pelo Dia das Crianças. Dividam igualmente entre vocês quatro. Beijos!
Sabe-se que toda a quantia deixada pelo pai estava em reais. Nesse dia, a filha P chega da escola, pega 1/4 da quantia deixada pelo pai e sai de casa. Em seguida, a filha Q chega e, acreditando ser a primeira a chegar, pega 1/4 da quantia que encontra e também sai de casa. Depois disso, o mesmo acontece com a filha R, ou seja, ela também pega 1/4 da quantia que encontra e sai. Mais tarde, quando a filha S chega, ciente de que é a última a apanhar a sua parte, pega os 270 reais que encontra, não restando, com isso, mais dinheiro.
Dessa forma, quantos reais a filha Q pegou a mais do que a filha R?
(A) 80
(B) 45
(C) 40
(D) 30
(E) 15
Resolução
Considere que o pai deixou uma quantidade igual a x.
A filha P pegou x/4.
A filha Q pegou 1/4 do que sobrou: 3x/4 .1/4 = 3x/16
A filha R pegou 1/4 do que sobrou: 3x/4 . 3/4 . 1/4 = 9x/64
A filha S pegou o que sobrou: 270
A soma dos valores deve ser igual a x:
x/4 + 3x/16 + 9x/64 + 270 = x
Multiplicando a equação por 64:
64x/4 + 64.3x/16 + 64.9x/64 + 64.270 = 64x
16x + 12x + 9x + 17280 = 64x
37x + 17280 = 64x
64x – 37x = 17280
27x = 17280
x = 17280/27
x = 640
Calculando os valores de Q e R:
Q: 3x/16 = 3*640/16 = 120
R: 9x/64 = 9*640/64 = 90
Diferença:
120 – 90 = 30
Resposta: D
27. Na Figura, representa-se a planificação de um dado cúbico, que será usado em um sorteio, que consiste em lançá-lo apenas três vezes. A pessoa que fará esses lançamentos ganhará um prêmio somente se, nesses três lançamentos, as faces SORTE e LANCE tiverem saído uma única vez em qualquer ordem.
Considerando-se as seis faces do referido cubo equiprováveis, a probabilidade de essa pessoa ganhar o prêmio é igual a
(A) 1/36
(B) 1/18
(C) 1/12
(D) 1/6
(E) 1/3
Resolução
Chance de sair LANCE: 1/6
Chance de sair SORTE: 2/6
Chance de sair outra opção: 3/6
1/6 x 2/6 x 3/6 = 1/36
Para finalizar, precisamos considerar que pode acontecer em qualquer ordem, ou seja, devemos multiplicar o resultado por 3! = 6
6 x 1/36 = 1/6
Resposta: D
28. A Figura a seguir representa um tabuleiro com 25 casas. Cada uma das casas deverá conter um único número, de modo que em cada linha, em cada coluna e em cada uma das duas diagonais do tabuleiro sejam formadas progressões aritméticas. Três dessas casas já possuem seus números.
Nessas condições, o valor de N é igual a
(A) 44
(B) 25
(C) 33
(D) 52
(E) 66
Resolução
Considerando que as diagonais formam progressões aritméticas, podemos determinar a razão da PA da diagonal que contém os números 9 e 85:
(85 – 9)/4 = 76/4 = 19
Observe que a outra diagonal possui os números 47 e 50 em sequência, ou seja, a PA desta diagonal possui razão igual a 3.
Resposta: A
29. Pelo Censo Demográfico 2022 do IBGE, a população residente no Brasil se distribui por cor ou raça de acordo com a Tabela:
Se a população de pessoas que se declararam pretas para esse censo é x% do total de residentes, então o valor de x é igual a
(A) 10,17
(B) 1,017
(C) 0,1017
(D) 0,01017
(E) 0,001017
Resolução
Quantidade de pessoas que se declararam pretas: 20.656.458
Quantidade total de residentes: 203.069.637
Calculando a porcentagem:
20656458 / 203069637 = 0,1017 = 10,17%
Resposta: A
30. Um certo tipo de arroz integral orgânico contém 54 mg de magnésio em cada porção de 50 g. Quantos miligramas de magnésio estão contidos em 75 g desse arroz?
(A) 50
(B) 54
(C) 75
(D) 81
(E) 100
Resolução
Sabemos a quantidade de magnésio em 50 g de arroz e precisamos calcular a quantidade em uma porção 50% maior, ou seja, basta aumentarmos a porção de magnésio também em 50%:
54 mg x 1,5 = 81 mg
Resposta: D
Gostou da prova resolvida do CNU 2024, bloco 8 de matemática?
Deixe o seu comentário.