Estudando matemática para concursos? Confira aqui tudo sobre o princípio da casa dos pombos, também conhecido como princípio das gavetas.
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Bom estudo!
O Princípio da Casa dos Pombos
Vamos imaginar que temos que colocar 5 pombos em 4 casas. O que podemos afirmar com certeza é que em alguma casa haverá mais de um pombo. Sempre que a quantidade de pombos for maior que a quantidade de casas, alguma casa abrigará mais de um pombo. Foi estudando esses tipos de problemas que desenvolveu-se o Princípio da Casa dos Pombos.
Da mesma forma, se eu tenho um armário com 3 gavetas e possuo 4 meias que são guardadas nessas gavetas, também posso afirmar que uma das gavetas conterá mais de uma meia. Por isso o estudo deste tipo de problema também é chamado de Princípio das Gavetas.
De fato, trata-se da mesma coisa. Como é mais usual, a partir de agora vamos utilizar somente a expressão Princípio da Casa dos Pombos.
O que acontecerá com o quinto pombo?
Para entendermos melhor o princípio, vamos voltar ao exemplo inicial das 4 casas para 5 pombos.
Vamos tentar colocar um pombo em casa casa:
- O primeiro pombo será colocado na casa 1;
- O segundo na casa 2;
- O terceiro na casa 3;
- O quarto na casa 4;
- E o quinto? Obrigatoriamente terá que escolher uma casa que já está ocupada.
Podemos resumir o Princípio da Casa dos Pombos da seguinte forma:
Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então pelo menos uma casa deverá conter dois ou mais pombos.
Matematicamente falando, quando o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função f: A → B não pode ser injetiva.
Dicas para resolver exercícios envolvendo o Princípio da Casa dos Pombos:
- Identificar quais são as “casas” e quais são os “pombos”;
- Organizar os pombos nas casas;
- Verificar a relação entre pombos e casas.
Exemplo 1: Quantos alunos devem ter em uma sala de aula, de modo que tenhamos certeza de que pelo menos dois deles fazem aniversário no mesmo mês?
Podemos considerar:
Casas: meses
Pombos: alunos
Relação: aluno com o respectivo mês de aniversário
Pelo Princípio das Gavetas, se tentarmos “encaixar” um aluno em cada mês, o 13º aluno fará aniversário no mesmo mês de outro aluno. Assim, podemos concluir que se existirem 13 alunos, pelo menos dois deles farão aniversário no mesmo mês.
Exemplo 2: Uma urna contém 4 tipos de bolas (vermelhas, pretas, rosas e brancas). Quantas bolas devemos retirar, de modo que possamos garantir que tenhamos duas bolas da mesma cor?
Quando retiramos as 4 primeiras bolas da caixa, a pior hipótese possível é que cada uma seja da mesma cor.
Assim, é necessário retirar uma quinta bola para garantirmos que haverá repetição de cor.
Exemplo 3: Em um laranjal existem 60 pés de laranja. Sabemos que cada uma delas não produz mais do que 50 laranjas por temporada. Será que existem pés de laranja que produzem a mesma quantidade de frutos?
Casas: quantidade de laranjas
Pombos: Pés de laranja
Vamos considerar a pior situação possível, onde os 51 primeiros pés de laranja produziram 0, 1, 2, 3, 4, …, 50 frutos, respectivamente. Neste caso, obrigatoriamente, os outros 9 pés de laranja deveram repetir a quantidade de frutos. De onde podemos afirmar que existem, pelo menos, dois pés com a mesma quantidade de frutos.
O que achou do Princípio da Casa dos Pombos?
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