Olá amigos internautas. Vamos aprender nesta página a identificar quando é possível e como é definida a multiplicação de matrizes.
O ideal é que o estudante já tenha lido o nosso conteúdo sobre a definição e as propriedades das matrizes.
Bom estudo!
INTRODUÇÃO
Quando representamos matrizes, a característica mais importante que deve ser informada é a quantidade de linhas e colunas. Por isso que a representação de uma matriz A qualquer é feita por Amxn, onde m é a quantidade de linhas e n é a quantidade de colunas da matriz A.
Podemos ainda representar um elemento qualquer desta matriz por aij, onde 1≤i≤m e 1≤j≤n.
Por exemplo, a matriz representada por A5×4 possui 5 linhas e 4 colunas, e o elemento localizado na segunda linha e na terceira coluna é o a23.
QUANDO PODEMOS MULTIPLICAR MATRIZES
A multiplicação não é definida para todo par de matrizes. Existe uma regra bem simples que deve ser observada para que seja possível essa multiplicação. Veja:
A multiplicação de duas matrizes A e B somente é possível quando o número de colunas da primeira (A) é igual ao número de linhas da segunda (B) matriz. O resultado dessa multiplicação será uma matriz C, cujo número de linhas é igual ao número de linhas da primeira e o número de colunas é igual ao número de colunas da segunda.
Observe o esquema abaixo para facilitar o entendimento:
Uma coisa importante a ser observada é que o fato de A.B ser possível não faz com que a multiplicação B.A também seja. Devemos analisar da mesma forma a quantidade de linhas e colunas. Em nosso esquema acima, B.A somente será possível se p = m.
Exemplo 1
A multiplicação das matrizes abaixo é possível pois a quantidade de colunas da matriz A é igual a quantidade de linhas da matriz B. Temos ainda que o resultado será uma matriz C com a quantidade de linhas de A e a quantidade de colunas de B.
Exemplo 2
A multiplicação das matrizes abaixo não é possível pois a quantidade de colunas da matriz A é diferente da quantidade de linhas da matriz B.
COMO É FEITA A MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes A = (aij)mxp e B = (bij)pxn, o produto A.B é a matriz C = (cij)mxn, onde cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha da matriz A pelos elementos da j-ésima coluna da matriz B.
Achou complicado? Vamos fazer um exemplo para mostrarmos que é mais fácil do que parece.
Exemplo 3
Sejam as matrizes A(3×3) e B(3×2) abaixo. O produto A.B é possível pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B.
Como vimos, cada elemento da matriz C = A.B será obtido pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de A pela coluna de B.
Calculando o elemento c11:
c11 = a11.b11 + a12.b21: + a13.b31
c11 = 1.2 + 2.1 + 5.(-1)
c11 = 2 + 2 – 5
c11 = -1
Calculando o elemento c12:
c12 = a11.b12 + a12.b22: + a13.b32
c12 = 1.0 + 2.5 + 5.3
c12 = 0 + 10 + 15
c12 = 25
Calculando o elemento c21:
c21 = a21.b11 + a22.b21: + a23.b31
c21 = 2.2 + 0.1 + 1.(-1)
c21 = 4 + 0 – 1
c21 = 3
Calculando o elemento c22:
c22 = a21.b12 + a22.b22: + a23.b32
c22 = 2.0 + 0.5 + 1.3
c22 = 0 + 0 + 3
c22 = 3
Calculando o elemento c31:
c31 = a31.b11 + a32.b21: + a33.b31
c31 = 3.2 + 5.1 + 4.(-1)
c31 = 6 + 5 – 4
c31 = 7
Calculando o elemento c32:
c32 = a31.b12 + a32.b22: + a33.b32
c32 = 3.0 + 5.5 + 4.3
c32 = 0 + 25 + 12
c32 = 37
O produto das matrizes A(3×3) e B(3×2) será uma matriz C(3×2), a saber:
PROPRIEDADES
Agora que já sabemos como multiplicar matrizes, é importante sabermos também as propriedades da multiplicação:
a) associativa: (A.B) . C = A . (B.C)
b) distributiva em relação à adição: A . (B+C) = A.B + A.C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n
Obs: A propriedade comutativa, exceto por algumas coincidências, não vale para a multiplicação de matrizes, ou seja, A.B ≠ B.A