Estudando matemática para concursos? Confira nesta página tudo o que você precisa saber sobre o máximo divisor comum, também conhecido por mdc.
Veja na sessão material didático outras publicações sobre números primos e divisores.
Bom estudo!
DEFINIÇÃO
O mdc está diretamente relacionado a ideia dos divisores de um número, e como o próprio nome diz, busca-se calcular o maior divisor comum a dois ou mais números.
Observação: O mdc de dois (ou mais) números primos é sempre o número 1.
Exemplo 1. Descobrir o mdc de 18 e 24.
O primeiro passo para descobrir o mdc de 18 e 24 é listar cada um dos divisores:
- Divisores de 18
1, 2, 3, 6, 9, 18
- Divisores de 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Divisores comuns a 18 e 24
1, 2, 3, 6
Temos 4 divisores comuns. Como o nosso objetivo é descobrir o maior, o mdc de 18 e 24 é o número 6.
mdc(18,24) = 6
Exemplo 2. Descobrir o mdc de 24 e 36.
Listando cada um dos divisores de 24 e 36:
- Divisores de 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Divisores de 36
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- Divisores comuns a 24 e 36
1, 2, 3, 4, 6, 12
Daí, o maior divisor comum a 24 e 36 é o número 12.
mdc(24, 36) = 12
Exemplo 3. Descobrir o mdc de 18, 30 e 40.
O primeiro passo para descobrir o mdc de 18, 30 e 40 é listar cada um dos divisores:
- Divisores de 18
1, 2, 3, 6, 9, 18
- Divisores de 30
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- Divisores de 40
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
- Divisores comuns a 18, 30 e 40
1 e 2
Daí, o maior divisor comum a 18, 30 e 40 é o número 2.
mdc(18,30,40) = 2
CALCULANDO O MDC PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Existe uma forma mais simples de descobrir o mdc de dois ou mais números, sem a necessidade de listarmos todos os divisores. Basta fatorarmos cada um dos números e multiplicarmos os números primos em comum, onde consideraremos o menor expoente. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 4. Calcular o mdc de 18 e 30.
Fatorando cada um dos números:
18 = 2.3²
30 = 2.3.5
O fator 2 aparece uma vez nos dois casos.
O fator 3 aparece duas vezes na decomposição do 18 e uma vez na decomposição do 30.
O fator 5 aparece apenas na decomposição do 30.
Multiplicando os termos em comum:
mdc(18,30) = 2.3 = 6
Exemplo 5. Calcular o mdc de 180 e 150.
Fatorando cada um dos números:
180 = 2².3².5
150 = 2.3.5²
O fator 2 aparece duas vezes no 180 e uma vez no 150.
O fator 3 aparece duas vezes no 180 e uma vez no 150.
O fator 5 aparece uma vez no 180 e duas vezes no 150.
Multiplicando os termos em comum:
mdc(180,150) = 2.3.5 = 30
Exemplo 6. Calcular o mdc de 56, 60 e 88.
Decompondo os números em fatores primos:
56 = 2³.7
60 = 2².3.5
88 = 2³.11
O fator 2 aparece três vezes no 56, duas no 60 e três no 88.
O fator 3 aparece apenas no 60.
O fator 5 aparece apenas no 60.
O fator 7 aparece apenas no 56.
O fator 11 aparece apenas no 88.
mdc(56,60,88) = 2² = 4
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