INTERVALOS REAIS

O conjunto dos números reais, representado pela letra R, possui vários subconjuntos. Vamos abordar nesta página os subconjuntos que são chamados de intervalos reais, e que são determinados por meio de desigualdades.

Imagine, por exemplo, a infinidade de números reais existentes entre os números 1 e 2. Podemos dizer que todos os números Reais entre 1 e 2 formam um subconjunto dos números reais.

O intervalo I em questão pode ser representado de três formas diferentes.

Utilizando colchetes

I = ]1, 2[

Utilizando desigualdades

I = {x∈R | 1<x<2}

Utilizando a reta real

Perceba que representamos o intervalo entre 1 e 2, porém sem incluir esses dois extremos. Neste caso, dizemos que o intervalo é aberto nos extremos 1 e 2.

Veja agora como é a representação deste intervalo, porém com a inclusão dos números 1 e 2 (neste caso, dizemos que o intervalo é fechado nos dois extremos):

Utilizando os colchetes

I = [1, 2]

Utilizando as desigualdades

I = {x∈R | 1≤x≤2}

Utilizando a reta real

Observou a diferença?

Quando utilizamos os colchetes, nós mudamos o sentido, quando utilizamos as desigualdades, nós alteramos para “menor ou igual”, e quando utilizamos a reta real nós a pintamos. Simples não é mesmo?

Obs: Alguns autores utilizam parênteses no lugar dos colchetes quando pretendem representar intervalos abertos. Veja:

[1, 2[ = [1, 2)

]1, 2[ = (1, 2)

Vamos a outro exemplo:

Representar o subconjunto dos Reais maiores ou iguais a 1:

Utilizando os colchetes:

I = [1, ∞[

Utilizando as desigualdades

I = {x∈R | x≥1}

Utilizando a reta real:

OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS

A utilização da reta real na resolução de operações entre conjuntos formados por intervalos reais é muito importante. Através dela é possível observar com mais facilidade as operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Veja o exemplo:

Considere os conjuntos abaixo:

A = ]1, 3]

B = [2, 4[

Utilizaremos a reta real para representaremos os intervalos formados pela união e pela interseção de A e B.

Lembrando que:

  • A união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A ou que pertencem a B.
  • A interseção de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

Temos:

A∪B = ]1, 4[

A∩B = [2, 3]

Diferença entre intervalos

A diferença entre conjuntos é a operação que mais gera dúvidas por parte dos alunos.

Basta lembrar que “A – B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, porém NÃO pertencem ao conjunto B.

Considerando o exemplo anterior, com A = ]1, 3] e B = [2, 4[, temos:

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B:

A – B = ]1, 2[

Elementos que pertencem a B e não pertencem a A:

B – A = ]3, 4[

Gostou da nossa publicação sobre os intervalos reais?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

18 comments

  1. eu nao estou conseguindo entender?

    • Qual é a sua dúvida Fernanda?

    • Tem que ter prontidão do assunto de conjuntos para entender o que é U e ∩. E saber que as bolinhas fechadas elas inclue o valor ou quando vim no conjunto assim [1,5] inclui q os dois são fechado ou quando vim na expressão assim {x E R/ 3 ≥ x ≥ 2} esse maior ou igual significa bolinha fechada, o e so maior ou so menor bolinha aberta pois a aberta ela exclui o valor dado na expressão e pode vim com o colchete invertido tipo ][ que diz que será bolinha aberta.

  2. Professor Jordon com todo respeito primeiro agradeço pelo artigo publicado, em segundo queria que o Senhor me desse mais esclarecimentos em relação as aulas sobre conjuntos, agradecia o favor professor!

  3. wesley ramalho

    perfect , muito bom
    Alias de ser bem iniciante

  4. wesley ramalho

    perfect , muito bom
    Apesar de ser bem simples e de fácil entendimento

  5. Angel bastos

    Olá professor, parabéns pelo artigo, eu estou tendo dificuldades na hora de representar com os colchete aberto ou fechado.

    • Olá Angel!
      Seguem dois exemplos para facilitar a compreensão:

      Conjunto dos números reais entre 0 e 1, incluindo os extremos:
      [0,1]
      Conjunto dos números reais entre 0 e 1, excluindo os extremos:
      ]0,1[

  6. Angel bastos

    Exemplo: considere os intervalos
    M = [ 1,5 ] e K = [ 3,7 ]
    Determine:
    União [ 1,7 [
    Intersecção [ 3,5]
    M – K = [ 1,3 [ eu não entendi porque o colchete está aberto [
    K – M = ] 5,7[ não entendi porq o 5 está aberto ]

    • Angel,
      Temos que fazer uma pequena correção:
      M U K = [1,7]

      Em relação as dúvidas:
      M-K é o conjunto dos elementos que estão em M, mas não estão em K. O colchete está aberto pois 3 pertence a K.
      Para K-M o raciocínio é o mesmo.

      Espero ter ajudado.

  7. Iasmin silva

    Muito boa explicação,me ajudou muito.

  8. Excelente explicação do nobre , competente e eloquente professor , vai ajudar muito aqueles que querem prestar concursos.

  9. EDMILSON DA CONCEICAO LOURENCO

    entao como eu posso resolver essa questao ?
    A=(-4;5) e B=[-6;3)

    a) A U B
    b) A U B
    c) A – B
    d) B – A

  10. Arnowd Feitosa Bezerra

    Eu queria tirar uma duvida nessa questão: Dados dos intervalos A= [2,8] e B= [7,20]; determine A^c em que o universo é o conjunto R. ?

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