Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o máximo e o mínimo de funções quadráticas, todos retirados dos últimos concursos públicos.
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Bom estudo!
Questão 1 (EsPCex 2013). Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a
a) 4 lotes
b) 5 lotes
c) 6 lotes
d) 7 lotes
e) 8 lotes
Resolução
Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre vendas e custo, temos:
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = 3x² − 12x – ( 5x² − 40x − 40)
L(x) = 3x² − 12x – 5x² + 40x + 40
L(x) = – 2x² + 28x + 40
Analisando a função L, observamos que a = -2 < 0, de onde concluímos que o gráfico é côncavo para baixo, possuindo um valor máximo.
Calculando o x do vértice:
xv = -b/2a
xv = -28/2.(-2)
xv = -28/(-4)
xv = 7
Daí, a quantidade de lotes mensais que maximiza o lucro da indústria é 7.
Resposta: D
Questão 2 (Liquigás – Cesgranrio 2013). A função f: [-2, 4] —> R, definida por f(x) = – x² + 2x + 3, possui seu gráfico apresentado a seguir.
O valor máximo assumido pela função f é
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 1
Resolução
O valor máximo assumido pela função f é exatamente a coordenada y do vértice da parábola, que pode ser calculada através da seguinte fórmula:
yv = -∆ / 4a
Calculando o valor de delta:
∆ = b² – 4ac
∆ = 2² – 4.(-1).3
∆ = 4 + 12
∆ = 16
Calculando o y do vértice:
yv = -∆ / 4a
yv = -16 / 4(-1)
yv = -16 / (-4)
yv = 4
Daí, o valor máximo assumido pela função f é 4.
Resposta: C
Questão 3 (IF MG 2013). O gerente de um estabelecimento comercial observou que o lucro (L) de sua loja dependia da quantidade de clientes (c) que frequentava o mesmo diariamente . Um matemático analisando a situação estabeleceu a seguinte função:
L(c) = – c² + 60c – 500
Qual seria o número de clientes necessário para que o gerente obtivesse o lucro máximo em seu estabelecimento?
a) 28
b) 29
c) 30
d) 32
e) 34
Resolução
Analisando a função L, observamos que a = -1 < 0, de onde concluímos que o gráfico é côncavo para baixo, possuindo um valor máximo.
Calculando o x do vértice:
xv = -b/2a
xv = -60/2.(-1)
xv = -60/(-2)
xv = 30
Daí, o estabelecimento tem o lucro máximo quando atende 30 clientes por dia.
Resposta: C
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