Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre fatoração, todos selecionados de provas de concursos públicos das principais bancas do país.
Bom estudo!
Questão 1 (Banco do Brasil – Cesgranrio). Considere o conjunto A cujos 5 elementos são números inteiros, e o conjunto B formado por todos os possíveis produtos de três elementos de A.
Se B = {-30, -20, -12, 0, 30}, qual o valor da soma de todos os elementos de A?
(A) 5
(B) 3
(C) 12
(D) 8
(E) -12
Resolução
Veja que os elementos de B são produtos de 3 elementos de A.
Como 0∈B, podemos concluir que 0∈A, pois zero multiplicado por quaisquer dois elementos de A é igual a zero.
Os outros 4 elementos, ao serem multiplicados 3 a 3, devem reproduzir os outros 4 elementos de B.
Fatorando os elementos de B:
30 = 2.3.5
20 = 2.2.5
12 = 2.2.3
Analisando os demais elementos do conjunto B e a fatoração de cada um deles, podemos concluir que os 4 elementos restantes do conjunto A são:
-2, 2, 3, 5
Veja:
-30 = -2.3.5
-20 = -2.2.5
-12 = -2.2.3
30 = 2.3.5
A = {-2, 0, 2, 3, 5}
Soma:
-2 + 0 + 2 + 3 + 5 = 8
Resposta: D
Questão 2 (Cesgranrio – AgeRio). Na reta numérica real a seguir, X é ponto médio do segmento AB.
O ponto X corresponde ao número real
Alternativas:
A) √50
B) √54
C) √60
D) √66
E) √72
Resolução
Considerando que X é o ponto médio de AB, podemos calcular o valor de X através da média aritmética dos números √24 e √96.
Neste caso, precisaremos efetuar a fatoração dos números 24 e 96.
24 = 23.3
96 = 25.3
Como √9 = 3, temos que:
x = √9.√6
x = √54
Resposta: B
Questão 3 (PM SP – FGV). 180 soldados serão posicionados no pátio do quartel, arrumados em linhas e colunas, de maneira a formar um retângulo perfeito. Sabe-se que tanto o número de linhas quanto o número de colunas do retângulo não podem ser menores que 5.
O maior número de arrumações possíveis para esse retângulo de soldados é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 7.
(D) 10.
(E) 12.
Resolução
Fatorando o 180, temos:
180 = 2².3².5
Devemos organizar os soldados, de modo que os lados do retângulo sejam maiores ou iguais a 5. Para tal análise, consideraremos a fatoração de 180.
- Considerando um lado igual a 5, o outro lado será 2².3² = 36.
- Considerando um lado igual a 10 (2.5), o outro lado será 2.3² = 18
- Considerando um lado igual a 20 (2².5), o outro lado será 3² = 9
- Considerando um lado igual a 15 (3.5), o outro lado será 2².3 = 12
- Considerando um lado igual a 30 (2.3.5), o outro lado será 2.3 = 6
- Considerando um lado igual a 45 (3².5), o outro lado será 2² = 4
Veja que temos 6 retângulos diferentes. Devemos apenas observar que, quando os soldados estão organizados, um retângulo de 5 x 36, por exemplo, é diferente de um retângulo de 36 x 5, ou seja, ao invés de 6 arrumações, temos 12 arrumações possíveis.
Resposta: E
Questão 4 (Detran SP – FCC). Um pacote contém N balas. Sabe-se que N ≤ 29 e que há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte contendo todas as N balas. Então, o resto da divisão de N por 5 é igual a
(A) 4.
(B) 0.
(C) 3.
(D) 1.
(E) 2.
Resolução
Sabemos que o número é menor ou igual a 30.
Podemos calcular a quantidade de divisores de um número através de 3 passos simples:
- fatorar o número
- adicionar 1 a cada um dos expoentes dos fatores primos
- multiplicar os resultados
Para que a quantidade de divisores seja igual a 8, uma opção seria uma fatoração com 3 primos com expoente 1, neste caso, teríamos:
(1 + 1).(1 + 1).(1 + 1) = 2.2.2 = 8
Neste caso, a menor fatoração possível seria:
2.3.5 = 30 (maior que 29).
Como a menor fatoração possível já é um número maior que 29, descartamos esta opção.
A outra opção seria a fatoração com um primo de expoente 3 e outro com expoente 1, onde teríamos:
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8
Neste caso, a fatoração possível seria:
2³.3 = 24
Conclusão:
N = 24, e o resto da divisão de N por 5 é igual a 4.
Resposta: A
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