ESPAÇOS VETORIAIS

Confira aqui tudo o que você precisa saber sobre os espaços vetoriais, onde apresentaremos a definição e vários exemplos.

Veja também em nosso menu várias publicações sobre outros tópicos da Álgebra Linear.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO DE ESPAÇO VETORIAL

Seja V um conjunto no qual estão definidas as operações:

• Adição: Para quaisquer elementos u e v de V, associamos um elemento u+v de V;
• Multiplicação por escalar: Para todo número real α e qualquer elemento v de V, associamos um elemento αv de V.

 

O conjunto V, onde valem as duas operações elencadas acima, é chamado de Espaço Vetorial se, para todos os elementos u, v, w ∈ V, e α, β ∈ R, todas as 8 condições abaixo são satisfeitas:

 

• Comutatividade

u + v = v + u

 

• Associatividade

u + (v + w) = (u + v) + w

 

• Existência de elemento neutro para a adição

Existe um elemento 0∈V, tal que v+0 = v, para todo v∈V

 

• Existência de elemento oposto na adição

Para todo v∈V, existe -v, tal que v + (−v) = 0

 

• Associatividade

α(βv) = (αβ)v

 

• Distributividade de escalares

(α + β)v = αv + βv

 

• Distributividade de vetores

α(u + v) = αu + αv

 

• Existência de elemento neutro para a multiplicação

1·v = v

 

 

EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS

 

• R²

O primeiro passo para verificarmos que R² é um espaço vetorial é verificar se estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar.

Sejam:

(x₁,x₂) e (y₂,y₂) ∈ R², e α∈R.

(x₁,x₂) + (y₁,y₂) = (x₁ + y₁,x₂ + y₂)

α(x₁,x₂) = (αx₁,αx₂)

 

O segundo passo é verificar se as 8 condições são satisfeitas.

Sejam:

u = (x₁,x₂), v = (y₁,y₂) e w = (z₁,z₂), elementos de R²

α e β elementos de R

• u + v = (x₁ + y₁, x₂ + y₂) = (y₁ + x₁, y₂ + x₂) = v + u
• u+(v+w) = (x₁ + (y₁ + z₁), x₂ +(y₂ + z₂)) = ((x₁ + y₁)+z₁,(x₂ + y₂) + z₂) = (u + v) + w
• u + (0,0) = (x₁ + 0, x₂ + 0) = (x₁, x₂) = u
• −u = (−x₁,−x₂), temos u+(−u) = (x₁−x₁, x₂−x₂) = (0,0)
• α(βu) = α(βx₁, βx₂) = (αβx₁, αβx₂) = (αβ)u
• (α + β)u = ((α + β)x₁, (α + β)x₂) = (αx₁ + βx₁, αx₂ + βx₂) = αu + βu
• α(u+v) = α(x₁ +y₁, x₂ +y₂) = (α(x₁ +y₁),α(x₂ +y₂)) = (αx₁ + αy₁, αx₂ + αy₂) = αu + αv
• 1u = (1x₁, 1x₂) = (x₁, x₂) = u

 

• R³, R⁴…, Rⁿ

As prova são análogas a R², e deixaremos a cargo do aluno.

 

• C (Conjunto dos números complexos)

 

• Polinômios de grau n, onde n é um número natural não nulo

 

 

EXEMPLOS DE CONJUNTOS QUE NÃO SÃO ESPAÇOS VETORIAIS

 

• N (conjunto dos números reais)

Basta verificar que não existe um elemento neutro para a adição.

Não existe n∈N, tal que 5 + n = 0

 

• Z (conjunto dos números inteiros)

Basta verificar que quanto multiplicamos um número Z por um número irracional, por exemplo √3, o resultado não é um número Z.

5.√3 ∉ Z

 

 

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