Equação do 2º grau

Você sabe resolver uma equação do 2º (segundo) grau? Veremos aqui as características deste tipo especial de equação, métodos de resolução e vários exemplos.

Bom estudo!

O que é uma equação do 2º grau?

Uma equação é dita do segundo grau ou quadrática quando a incógnita está elevada a um expoente de grau 2.

A forma geral da equação do 2º grau é:

a.x² + b.x + c = 0

Onde:

  • x é a incógnita
  • a, b e c são as constantes

A única restrição é que a não ode ser igual a zero. Claro né, pois se fosse, não teríamos uma equação do segundo grau e sim do primeiro grau.

Exemplo 1

x² + 5x + 1 = 0

x é a incógnita

a = 1

b = 5

c = 1

Exemplo 2

0,5x² + 6x + 7 = 0

x é a incógnita

a = 0,5

b = 6

c = 7

Exemplo 3

2x² – 6x = 0

x é a incógnita

a = 2

b = -6

c = 0

Exemplo 4

5k² – 9 = 0

k é a incógnita

a = 5

b = 0

c = – 9

Exemplo 5

5t² = 0

t é a incógnita

a = 5

b = 0

c = 0

Como resolver uma equação do 2º grau incompleta

A constante “a” é a única que não pode ser igual a zero. Quando temos b ou c igual a zero, dizemos que a equação é incompleta.

  • Quando c = 0

As equações do 2º grau incompletas com c = 0 possuem o seguinte formato:

ax² + bx = 0

Podemos resolver equações com este formato colocando x em evidência:

ax² + bx = 0

x (ax + b) = 0

Observe que um produto é igual a zero quando um de seus termos é igual a zero, ou seja, x = 0 ou (ax + b) = 0.

Daí, a solução será:

x = 0

ou

ax + b = 0

ax = -b

x = -b/a

O conjunto solução será S = {0, -b/a}

Exemplo

x² + 4x = 0

x(x + 4) = 0

Daí,

x = 0

ou

x + 4 = 0

x = – 4

S = {-4, 0}

  • Quando b = 0

As equações do 2º grau incompletas com b = 0 possuem o seguinte formato:

ax² + c = 0

Podemos resolver este tipo de equação isolando a incógnita:

ax² + c = 0

ax² = -c

x² = -c/a

x = ±√(-c/a)

O conjunto solução será S = {√(-c/a), -√(-c/a)}

Exemplo

2x² – 18 = 0

2x² = 18

x² = 18/2

x² = 9

x = ±√9

x = ±3

S = {-3, 3}

A fórmula de Bhaskara

As equações do segundo grau completas são resolvidas com mais agilidade através da famosa fórmula de Bhaskara.

Veja como:

Seja a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0.

Primeiro calculamos o valor de Δ (delta), onde:

Δ = b² – 4ac

Depois calculamos as raízes através da fórmula:

fórmula de bhaskara

Exemplo

Resolver a equação x² + 2x – 3 = 0.

As constantes são:

a = 1

b = 2

c = – 3

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4.1.(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

Calculando as raízes:

exemplo formula de bhaskara

S = {-3, 1}.

A importância do valor de Delta

É importante citar que Δ informa quantas raízes reais a equação do segundo grau possui. Veja:

  • Se Δ<0, a equação não possui raízes reais.
  • Se Δ=0, a equação possui apenas uma raiz real.
  • Se Δ>0, a equação possui duas raízes reais.

O método da soma e produto

Algumas equações do 2º grau podem ser resolvidas através deste método. O seu objetivo é agilizar a resolução, evitando todos os cálculos utilizados na fórmula de Bhaskara.

Considerando a equação do segundo grau geral ax² + bx + c = 0, temos que:

A soma das raízes é sempre -b/a.

O produto das raízes é sempre c/a.

Exemplo

Resolver a equação x² – 5x + 6 = 0

A soma das raízes será:

S = -b/a = -(-5/1) = 5

P = c/a = 6/1 = 6

Neste caso não é difícil perceber que os dois números cuja soma é igual a 5 e o produto é igual a 6 são os números 2 e 3.

S = {2, 3}

Aprendeu a resolver uma equação do 2º grau? Não se esqueça de acessar a sessão com exercícios resolvidos. Aproveite também para compartilhar nas redes sociais e deixar seu comentário no final da página.

About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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