Uma dizima periódica é um número que, quando escrito no sistema decimal, possui uma quantidade infinita de casas decimais, porém é possível observar um padrão, pois um ou mais algarismos se repetem infinitamente, e a esses algarismos chamamos de período.
O assunto em questão costuma cair principalmente em provas de nível fundamental e médio e faz parte da matemática básica.
Exemplos de dizimas periódicas:
a) 0,11111… é uma dizima de período 1
b) 0,121212… é uma dizima de período 12
c) 1,34563456… é uma dizima de período 3456
Dizima periódica simples
Dizemos que trata-se de uma dizima periódica simples quando o período aparece imediatamente após a vírgula.
Exemplos:
a) 0,1111…
b) 0,878787…
c) 0,621621621…
Fração geratriz
Toda dizima periódica é um número racional, ou seja, podemos representá-lo através de uma fração. Vejamos alguns exemplos:
a) 0,1111…
Neste caso, temos que o período da dizima é 1.
Seja x = 0,111…
Daí, 10x = 1,111…
Subtraindo a primeira da segunda equação, temos:
10x – x = 1,111… – 0,1111…
9x = 1
x = 1/9
Temos então que 0,111… = 1/9
Obs: Não foi por coincidência que achamos 1/9. Toda dizima periódica cujo período possui apenas um algarismo pode ser representada pela fração onde o numerador é o período e o denominador é o algarismo 9.
b) 0,878787…
Neste caso, temos que o período da dizima é 87.
Seja x = 0,878787…
Daí, 100x = 87,878787…
Subtraindo a primeira da segunda equação, temos:
100x – x = 87,878787… – 0,878787…
99x = 87
x = 87/99
Obs: Não foi por coincidência que achamos 87/99. Toda dizima periódica cujo período possui apenas dois algarismos pode ser representada pela fração onde o numerador é o período e o denominador é o número 99.
c) 0,963963963…
Neste caso, temos que o período da dizima é o 963.
Se fizermos todos os cálculos dos exemplos anteriores, chegaremos a fração 963/999, e assim vale para todos os casos onde o período inicia-se após a vírgula.
Dizima periódica composta.
Neste tipo de dizima periódica, existe um ou mais algarismos entre a vírgula e o período.
Exemplos:
a) 0,2454545…
b) 0,33612612612…
c) 0,988888…
Como transformar uma dizima periódica composta em fração
Vamos utilizar transformar em fração a dizima 0,2454545…
Após observarmos que o período é 45, vamos separá-lo do restante:
0,2 + 0,045454545…
Sabemos que 0,2 corresponde a fração 2/10
Vimos também que se o número fosse 0,454545…, a fração seria 45/99.
É notório que 0,454545… é 10 vezes maior do que 0,0454545…, daí:
0,0454545… = 45/990
Finalizando, 0,2454545… = 2/10 + 45/990 = (198 + 45)/990 = 243/990 = 27/110
Curiosidade
Quanto seria 0,9999…?
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