Estudando matemática para concursos? Confira aqui uma seleção especial com vários exercícios resolvidos sobre triângulos, todos retirados dos últimos concursos realizados pelo país.

Não deixe de ver também os nossos exercícios resolvidos sobre outros tópicos da geometria plana.

Bom estudo!

Questão 1 (IBGE 2016 – Cesgranrio). Considere as seguintes definições:

1 – Um triângulo é chamado de escaleno quando os seus lados possuem comprimentos diferentes.

2 – Um triângulo é chamado de isósceles quando há dois de seus lados com o mesmo comprimento.

3 – Um triângulo é chamado de equilátero quando todos os seus lados possuem o mesmo comprimento.

De acordo com as definições apresentadas, um triângulo não é escaleno quando, e apenas quando, ele

(A) é isósceles.

(B) é isósceles, mas não é equilátero.

(C) não é isósceles.

(D) não é equilátero, nem é isósceles.

(E) não é equilátero.

Resolução

Conforme definição, um triângulo é escaleno quando todos os lados possuem comprimentos diferentes. Logicamente, um triângulo não é escaleno quando possui pelo menos dois lados iguais, ou seja, quando é isósceles.

Obs: A resposta pode gerar dúvidas pois não mencionamos o equilátero, mas não está incorreto, pois todo triângulo equilátero também é considerado isóceles.

Resposta: A

Questão 2 (Petrobrás 2017 – Cesgranrio). Um arame de extremidades C e D e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir.

Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D?

(A) √3

(B) 2√3

(C) 4√3

(D) 2

(E) 4

Resolução

Podemos resolver a questão traçando a reta AD e “brincando” com os ângulos dos triângulos.

Como o arame mede 8 cm, AC = AB = BC = CD = 2 cm.

Como ABC é um triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60º, de onde podemos concluir que o ângulo externo mede 120º.

Observando que DCA é um triângulo isósceles, podemos concluir que os ângulos internos A e D medem 30º. Daí, o triângulo ABD é retângulo em A.

Utilizando o teorema de Pitágoras para calcular o valor do cateto AD:

BD² = AB² + AD²

4² = 2² + AD²

16 = 4 + AD²

AD² = 16 – 4

AD² = 12

AD = √12

AD = 2.√3

Resposta: B

Questão 3 (PM AC 2017 – Ibade). Considere que um triângulo retângulo escorrega, descendo sobre um plano inclinado ABC, retângulo em A. No momento em que ele assume a posição representada na figura, sabe-se que AC = 5dm e AB = CD = 12dm

Se DE = x e BE = y, marque a alternativa que contém o correto valor, em decímetros, de x + y.

a) 17/5

b) 23/5

c) 5

d) 4

e) 3

Resolução

O primeiro passo é localizar na figura as medidas informadas pelo enunciado da questão.

Calculando a medida de CB através do Teorema de Pitágoras:

CB² = AC² + AB²

CB² = 5² + 12²

CB² = 25 + 144

CB² = 169

CB = 13

Como CB = 13 e CD = 12, podemos concluir que BD = 1.

É possível observar na figura que temos dois ângulos complementares nos vértices B, de onde podemos concluir que os triângulos ABC e DEB são semelhantes. Calculando os valores de x e y:

AB/AC = DE/BD

12/5 = x/1

x = 12/5

CB/AC = EB/BD

13/5 = y/1

y = 13/5

x + y = 12/5 + 13/5 = 25/5 = 5dm

Resposta: C

Questão 4 (UP). Considere um triângulo ABC, temos AC = 3m, BC = 4m e B = 60°. Qual é o valor do sen(A)?

a) 2√3/3

b) 3√3/2

c) √3/3

d) Não faz sentido porque tal triângulo não existe

Resolução

Considerando as características do triângulo ABC descritas no enunciado, deveríamos ter um triângulo com as seguintes características (figura fora de escala):

Traçando a altura AD, de comprimento h, o lado BC será dividido em duas partes, de medidas “a” e “4-a”.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos:

• No triângulo ABD:

x² = a² + h²

• No triângulo ADC:

3² = h² + (4 – a)²

9 = h² + 16 – 8a + a²

Temos duas equações. Faremos a subtração da primeira pela segunda:

x² – 9 = a² + h² – (h² + 16 – 8a + a²)

x² – 9 = a² + h² – h² – 16 + 8a – a²

x² – 9 = – 16 + 8a

x² = 9 – 16 + 8a

x² = 8a – 7

Sabendo que cos60° = 1/2, em ABD temos:

cos60° = a/x

1/2 = a/x

a = x/2

Sabendo que x = 2a, substituiremos o valor de “a” na equação x² = 8a – 7:

x² = 8a – 7

x² = 8(x/2) – 7

x² = 4x – 7

x² – 4x + 7 = 0

Temos uma equação do segundo grau. Calculando o valor de delta:

Δ = b² – 4ac

Δ = (-4)² – 4.1.7

Δ = 16 – 28

Δ = – 12

Como Δ < 0, podemos concluir que não existe x (real) que satisfaz a equação, ou seja, o triângulo não existe.

Resposta: D

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