Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre as posições relativas entre planos.

O conteúdo é bastante cobrado em provas de concursos onde são exigidos conhecimentos sobre geometria espacial e de posição.

Bom estudo!

Questão 1 (ESFCEX 2009). Sobre os elementos primitivos da geometria espacial, assinale a alternativa correta.

a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.

b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.

c) Duas retas distintas não paralelas se cortam em um ponto.

d) Três planos distintos sempre se cortam segundo uma reta.

e) Duas retas distintas ortogonais a uma terceira são ortogonais entre si.

Resolução

Vamos analisar cada caso:

a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.

A afirmação não está correta. Podemos verificar através da figura abaixo, onde temos dois planos (vermelho e laranja) paralelos à reta r e que NÃO são paralelos entre si.

b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.

A afirmação está correta. Sejam os pontos A, B, C e D, não coplanares. Podemos formar 4 planos: ABC, ABD, ACD, BCD.

c) Duas retas distintas não paralelas se cortam em um ponto.

A afirmação não está correta. Veja na figura duas retas não paralelas que não se cortam em um ponto.

d) Três planos distintos sempre se cortam segundo uma reta.

A afirmação não está correta. Veja na figura um exemplo de três planos distintos e que não se cortam.

e) Duas retas distintas ortogonais a uma terceira são ortogonais entre si.

A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), ortogonais a reta t, porém não ortogonais entre si.

Resposta: C

Questão 2 (PM RJ – Exatus 2014). Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

Está correto apenas o que se afirma em:

a) Apenas as afirmativas I e II.

b) Apenas as afirmativas II e III.

c) Apenas as afirmativas II e IV.

d) Apenas as afirmativas III e IV.

Resolução

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), paralelas a um plano (em vermelho), e que não são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

A afirmação está correta. Existem infinitas retas paralelas a r (dentro e fora do plano α).

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

A afirmação está incorreta. Retas concorrentes pertencem ao mesmo plano, e não pertencer ao mesmo plano é uma das condições para que duas retas sejam ortogonais.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

A afirmação está correta. Veja na figura que a reta r é paralela a α, porém não é paralela a reta s, que pertence a α.

Resposta: C

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