SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

1. Introdução:

 

Neste tópico, vamos estudar basicamente a resolução de sistemas de equações que envolvem duas equações e duas incógnitas. Salientamos que quando existem 3 ou mais equações/incógnitas o sistema também pode ser resolvido pelos métodos a serem apresentados, porém existem outras formas mais eficientes.

 

Resolver um sistema de equações consiste em achar os valores das incógnitas que satisfação simultaneamente as duas equações do sistema. Veja o exemplo:

 

         x + y = 9
         x – y = 1           Solução: x = 5 e y = 4

 

A seguir, vamos apresentar os dois métodos mais práticos para resolução de sistemas.
 
 

2. Resolução através do método da substituição

 

Consiste em colocar uma das incógnitas em função da outra e substituir na segunda equação. Vamos ao exemplo:

 

Resolver o sistema:       2x + 3y = 7
                                       5x – 4y = 6

 

Por este método, vamos tomar a primeira equação e escrever x em função de y:
                   2x = 7 – 3y
                     x = (7 – 3y) / 2

 

Agora vamos substituir na segunda equação a expressão da incógnita x:
                5.(7 – 3y) / 2 – 4y = 6
          2.5.(7 – 3y) / 2 – 2.4y = 2.6
                     5.(7 – 3y) – 8y = 12
                      35 – 15y – 8y = 12
                                  – 23y = 12 – 35
                                  – 23y = -23
                                        y = 1

 

Para achar o valor de x, basta substituir y = 1 na equação anterior:     x = (7 – 3y) / 2 = (7 – 3)/2 = 4/2 = 2

 

Logo, a solução  é x = 2 e y = 1

 

 

3. Resolução através do método da adição

 

Consiste em eliminar uma das incógnitas, onde teríamos uma equação do primeiro grau, com apenas uma incógnita, que é simples de resolver. Vamos ao exemplo:

 

Resolver o sistema:       2x + 3y = 7
                                       5x – 4y = 6

 

Primeiramente, vamos observar que em uma equação isolada, podemos multiplicar toda ela por uma constante real que suas raízes não são alteradas.

 

Neste exemplo, nosso objetivo é eliminar a incógnita y. Note que se multiplicarmos a primeira por 4 e a segunda por 3 e somarmos as duas, a incógnita y será anulada.

 

          2x + 3y = 7  (4)           8x + 12y = 28
          5x – 4y = 6   (3)         15x -12y = 18

 

Somando as equações resultantes:

8x + 12y + 15x – 12y = 28 + 18

23x = 46
x = 46/23 = 2

 

Para achar o valor de y, basta escolher uma das equações iniciais e substituir x = 2:
                          2x + 3y = 7
                        2..2 + 3y = 7
                            4 + 3y = 7
                                  3y = 7 – 4
                                  3y = 3
                                    y = 1

 

Logo, a solução é x = 2 e y = 1

 
 

4. Consideração final

 

Além desses dois métodos, existem outros. Nosso objetivo foi apresentar os mais utilizados, de modo a não confundir a cabeça do estudante. Não existe método mais fácil ou mais difícil, vai depender de cada exemplo.

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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