RETAS PARALELAS

Dando continuidade ao estudo da reta na geometria analítica, vamos falar um pouco sobre as retas paralelas.

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Bom estudo!

 

 

Dizemos que duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum.

A linguagem matemática utilizada para informar que as retas r e s são paralelas é r ⁄ ⁄ s.

 

Na figura é possível observar que as retas são paralelas porque possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem os mesmos coeficientes angulares.

Utilizando a linguagem matemática, temos que:

r ⁄ ⁄ s ⇔ α1 = α2

 

Conclusão: A maneira mais rápida de identificarmos duas retas paralelas é comparando o coeficiente angular. Caso sejam iguais, as retas serão paralelas, caso contrário, serão concorrentes.

Obs: Devemos descartar os casos onde os coeficientes angulares são iguais assim como as equações reduzidas das retas, pois neste caso as retas serão coincidentes.

 

 

Exemplo 1. Verificar se as retas r: x + 5y + 1 = 0 e s: 2x – y + 4 = 0 são paralelas.

Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:

 

Reta r

x + 5y + 1 = 0

5y = -x – 1

y = -x/5 – 1/5

m = -1/5

 

Reta s

2x – y + 4 = 0

y = 2x + 4

m = 2

 

Conclusão: Os coeficientes angulares das retas r e s são diferentes, ou seja, as retas NÃO são paralelas.

 

 

Exemplo 2. Verificar se as retas r: 3x – 2y + 6 = 0 e s: -6x + 4y + 10 = 0 são paralelas.

Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:

 

Reta r

3x – 2y + 6 = 0

2y = 3x + 6

y = (3x + 6) / 2

y = (3/2)x + 3

m = 3/2

 

Reta s

-6x + 4y + 10 = 0

4y = 6x – 10

y = (6x – 10) / 4

y = (6/4)x – 10/4

y = (3/2)x – 5/2

m = 3/2

 

Conclusão: As retas r e s possuem o mesmo coeficiente angular e são paralelas.

 

 

Exemplo 3. Determinar a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(1, 1) e é paralela à reta s: 3x – y + 5  = 0.

Podemos determinar a equação da reta apenas conhecendo um de seus pontos e a inclinação. A questão nos informou que a reta r passa pelo ponto (1 ,1) e que deve ser paralela a reta s, ou seja, deve possuir a mesma inclinação. Nosso primeiro objetivo será calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta s.

 

3x – y + 5 = 0

y = 3x + 5

m = 3

Como a reta s possui coeficiente angular igual a 3, este também deve ser o coeficiente angular da reta r.

 

Determinando a equação da reta r, sabendo que m = 3 e que (1, 1) ∈ r:

y – y0 = m(x – x0)

y – 1 = 3.(x – 1)

y – 1 = 3x – 3

3x – y – 3 + 1 = 0

3x – y – 2 = 0

 

Daí, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e que é paralela à reta 3x – y + 5 = 0 é 3x – y – 2 = 0.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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