POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Estudando matemática para concursos? Veja aqui tudo sobre as posições relativas entre reta e circunferência.

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Bom estudo!

 

 

Seja uma circunferência λ de centro C(xc, yc) e raio r. No mesmo plano existem retas que cortam a circunferência em dois pontos, retas que tocam a circunferência em apenas um, e retas que não interceptam a circunferência. Essas retas são chamadas de secantes, tangentes e externas, respectivamente.

 

 

Veja na figura que:

A reta r (azul) é secante à circunferência, pois possuem dois pontos em comum.

A reta s (verde) é tangente à circunferência, pois possuem apenas um ponto em comum.

A reta t (laranja) é externa à circunferência, pois não possuem nenhum ponto em comum.

 

 

RETA SECANTE

Como vimos, uma reta é secante a uma circunferência quanto possuem dois pontos em comum. A grosso modo, podemos dizer que a reta passa “por dentro” da circunferência.

Em nosso desenho, temos que a reta r é a reta secante. Nele podemos observar que a distância da reta r ao centro C da circunferência é menor que a medida do raio.

dC,r < raio

 

 

RETA TANGENTE

Definimos uma reta tangente a uma circunferência quando possuem apenas um ponto em comum.

Em nosso desenho, temos que a reta s é tangente. Nele podemos observar que a distância da reta s ao centro C da circunferência é igual à medida do raio.

dC,s = raio

 

 

RETA EXTERNA

Definimos uma reta externa a uma circunferência quando não possuem nenhum ponto em comum. A grosso modo, dizemos que a reta passa “por fora” da circunferência.

Em nosso desenho, temos que a reta t é a reta externa. Nele observamos que a distância da reta t ao centro C da circunferência é maior que a medida do raio.

dC,s > raio

 

 

COMO DETERMINAR A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Apresentaremos agora duas formas práticas para determinarmos a posição relativa entre uma reta e uma circunferência. Para tanto, examinaremos as relações entre a reta r: 2x + y – 1 = 0 e a circunferência λ: (x + 3)² + (y – 4)² = 25.

Temos que:

2x + y – 1 = 0 é a equação geral da reta r, onde a=2, b=1 e c=-1.

(x + 3)² + (y – 4)² = 25 é a equação geral da circunferência, cujo centro é (-3, 4) e o raio é 5.

 

 

MÉTODO DA RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Por este método, a resolução dá-se resolvendo o sistema de duas variáveis, x e y, e duas equações, da reta e da circunferência.

Nosso objetivo será resolver o seguinte sistema:

2x + y – 1 = 0

(x + 3)² + (y – 4)² = 25

 

Isolando a variável y na equação 1:

y = 1 – 2x

 

Substituindo na equação 2:

(x + 3)² + (y – 4)² = 25

(x + 3)² + (1 – 2x – 4)² = 25

x² + 6x + 9 + (-2x – 3)² – 25 = 0

x² + 6x + 9 + 4x² + 12x + 9 – 25 = 0

5x² + 18x – 7 = 0

 

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 18² – 4.5.(-7)

Δ = 324 + 140

Δ = 464

 

Como Δ > 0, a equação do segundo grau 5x² + 18x – 7 = 0 possui duas raízes. Podemos concluir que existem dois pontos em comum e que a reta r é secante a circunferência λ.

 

 

MÉTODO DO CÁLCULO DA DISTÂNCIA

Por este método, calculamos a distância da reta ao centro da circunferência e a comparamos com a medida do raio.

Nosso primeiro objetivo será calcular a distância, que pode ser feito através da seguinte fórmula:

Onde:

(x0, y0) é o centro da circunferência.

ax + by + c = 0 é a equação geral da reta.

Como o raio da circunferência é igual a 5, e a distância entre a reta e a circunferência é igual a 1,3, podemos concluir que a reta é secante a circunferência.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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