MDC

Estudando matemática para concursos? Confira nesta página tudo o que você precisa saber sobre o máximo divisor comum, também conhecido por mdc.

Veja na sessão material didático outras publicações sobre números primos e divisores.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO

O mdc está diretamente relacionado a ideia dos divisores de um número, e como o próprio nome diz, busca-se calcular o maior divisor comum a dois ou mais números.

Observação: O mdc de dois (ou mais) números primos é sempre o número 1.

 

Exemplo 1. Descobrir o mdc de 18 e 24.

O primeiro passo para descobrir o mdc de 18 e 24 é listar cada um dos divisores:

 

  • Divisores de 18

1, 2, 3, 6, 9, 18

  • Divisores de 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

  • Divisores comuns a 18 e 24

1, 2, 3, 6

 

Temos 4 divisores comuns. Como o nosso objetivo é descobrir o maior, o mdc de 18 e 24 é o número 6.

mdc(18,24) = 6

 

 

Exemplo 2. Descobrir o mdc de 24 e 36.

Listando cada um dos divisores de 24 e 36:

 

  • Divisores de 24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

  • Divisores de 36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  • Divisores comuns a 24 e 36

1, 2, 3, 4, 6, 12

 

Daí, o maior divisor comum a 24 e 36 é o número 12.

mdc(24, 36) = 12

 

 

Exemplo 3. Descobrir o mdc de 18, 30 e 40.

O primeiro passo para descobrir o mdc de 18, 30 e 40 é listar cada um dos divisores:

 

  • Divisores de 18

1, 2, 3, 6, 9, 18

  • Divisores de 30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  • Divisores de 40

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

  • Divisores comuns a 18, 30 e 40

1 e 2

 

Daí, o maior divisor comum a 18, 30 e 40 é o número 2.

mdc(18,30,40) = 2

 

 

CALCULANDO O MDC PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Existe uma forma mais simples de descobrir o mdc de dois ou mais números, sem a necessidade de listarmos todos os divisores. Basta fatorarmos cada um dos números e multiplicarmos os números primos em comum, onde consideraremos o menor expoente. Vejamos alguns exemplos:

 

Exemplo 4. Calcular o mdc de 18 e 30.

Fatorando cada um dos números:

18 = 2.3²

30 = 2.3.5

 

O fator 2 aparece uma vez nos dois casos.

O fator 3 aparece duas vezes na decomposição do 18 e uma vez na decomposição do 30.

O fator 5 aparece apenas na decomposição do 30.

 

Multiplicando os termos em comum:

mdc(18,30) = 2.3 = 6

 

 

Exemplo 5. Calcular o mdc de 180 e 150.

Fatorando cada um dos números:

180 = 2².3².5

150 = 2.3.5²

 

O fator 2 aparece duas vezes no 180 e uma vez no 150.

O fator 3 aparece duas vezes no 180 e uma vez no 150.

O fator 5 aparece uma vez no 180 e duas vezes no 150.

 

Multiplicando os termos em comum:

mdc(180,150) = 2.3.5 = 30

 

 

Exemplo 6. Calcular o mdc de 56, 60 e 88.

Decompondo os números em fatores primos:

 

56 = 2³.7

60 = 2².3.5

88 = 2³.11

 

O fator 2 aparece três vezes no 56, duas no 60 e três no 88.

O fator 3 aparece apenas no 60.

O fator 5 aparece apenas no 60.

O fator 7 aparece apenas no 56.

O fator 11 aparece apenas no 88.

 

mdc(56,60,88) = 2² = 4

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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