INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU: COMO RESOLVER

Nesta página vamos aprender a resolver inequações do segundo grau. O ideal é que você já tenha estudado sobre equações e funções do segundo grau.

Por mais que o assunto gere muitas dúvidas, você verá como é simples quando analisamos através da parábola associada.

Bom estudo!

 

 

INTRODUÇÃO

Diferente das equações do segundo grau, onde temos igualdades, nas inequações do segundo grau nós utilizamos outros símbolos. São eles:

> (maior)

< (menor)

(maior ou igual)

(menor ou igual)

 

 

COMO RESOLVER

Resolver uma inequação do segundo grau nada mais é do que estudar o sinal da função quadrática associada a inequação. Veja como funciona:

Dada a inequação do segundo grau do tipo ax² + bx + c > 0.

A função do segundo grau a ela associada é f(x) = ax² + bx + c.

Devemos então analisar quando temos f(x) > 0.

E como podemos saber quando a função f é maior que zero? A resposta é simples, analisando o gráfico de f(x). Quem já estudou o conteúdo sobre funções do segundo grau já sabe que o gráfico desse tipo de função é uma parábola.

 

 

VAMOS PRATICAR?

Agora que já aprendemos na teoria como resolver inequações do segundo grau, vamos praticar com alguns exemplos para fixarmos melhor o conteúdo, afinal é praticando que se aprende, não é mesmo?

 

Exemplo 1:

Resolver a inequação x² – 3x ≤ 0.

Como vimos, devemos associar essa inequação a uma função do segundo grau.

f(x) = x² – 3x

Onde queremos saber quando f(x) ≤ 0.

 

Analisando a função f, temos que a=1, b=-3 e c=0, daí já sabemos que o gráfico é uma parábola com a concavidade para cima, pois a>0.

Outra informação importante que precisamos para analisarmos o sinal de f são as raízes dessa função.

 

Resolvendo a equação do segundo grau:

x² – 3x = 0

x(x – 3) = 0

Temos que x=0 ou x=-3.

Daí, as raízes de f são -3 e 0.

Pronto. Já sabemos se a parábola é voltada para cima ou para baixo e as raízes da função. Agora já podemos resolver a inequação.

 

Veja o gráfico da função f com as informações que temos:

exemplo de como resolver inequacao do segundo grau

E agora, quando é que f(x) ≤ 0???????

Nota-se que isto acontece quando x está entre 0 e 3, incluindo-se esses dois números. Temos então um intervalo real que pode ser representado como [0, 3].

Daí, podemos representar o conjunto solução da inequação x² – 3x ≤ 0 de duas formas:

S = [0, 3]

ou

S = {x∈R | 0 ≤ x ≤ 3}.

 

Exemplo 2.

x² + 3x + 7 > 10 + x

Veja que a inequação do exemplo não está “organizada”. Precisamos modificá-la, de modo que consigamos identificar os valores de a, b e c.

x² + 3x + 7 > 10 + x

x² + 3x + 7 – 10 – x > 0

x² + 2x – 3 > 0

 

Precisamos agora analisar os sinais da função quadrática f(x) = x² + 2x – 3, onde sabemos que a=1, b=3 e c=-3.

A primeira informação que podemos tirar é que a parábola da função f possui a concavidade para cima, pois a>0.

 

Vamos agora descobrir as raízes da função, e vamos fazer isso utilizando a fórmula de Bhaskara:

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4.1.(-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

 

Calculando as raízes:

exemplo formula de bhaskara

Daí, as raízes da função f são -3 e 1.

 

Agora que já sabemos o sentido da parábola e as raízes da função, podemos representar o gráfico de f:

exemplo de como resolver inequacao do segundo grau 2

E agora, quando é que f(x) > 0???????

Nota-se que isto acontece quando x é menor que -3, ou quando x é maior que 1. Temos então dois intervalos reais que podem ser representados como ]∞, -3[ e ]1, ∞[

Daí, podemos representar o conjunto solução da inequação x² + 2x – 3 > 0 de duas formas:

S = ]∞, -3[  +  ]1, ∞[

ou

S = {x∈R | x<-3 ou x>1}.

 

 

Aprendeu a resolver inequações do segundo grau? Como pode perceber, é muito importante que o estudante já domine os conteúdos e equação e função do segundo grau.

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Boa sorte a todos e fiquem com Deus!

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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