EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

As equações trigonométricas costumam “dar um nó” na cabeça de muitos estudantes. Nesta página vamos aprender a resolvê-las através da resolução das equações trigonométricas fundamentais.

Pede-se que o aluno tenha um conhecimento avançado sobre o ciclo trigonométrico, arcos, seno, cosseno e tangente.

Bom estudo!

 

 

Uma equação é dita trigonométrica quando a incógnita representa um arco. Veja:

  • Exemplos de equações trigonométricas:

exemplo de equacao trigonometrica

equacao trigonometrica exemplo

  • Exemplos de equações não trigonométricas:

exemplo de equacao nao trigonometrica

equacao nao trigonometrica

 

Você já deve ter notado que as equações trigonométricas não possuem um modelo pré definido, como, por exemplo, uma equação do segundo grau. E justamente por este motivo, não existe um único e infalível método que possa ser utilizado para resolver todas elas.

O que podemos fazer e manipulá-las, transformando-as em equações mais simples e equivalentes. São as chamadas equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais. São elas:

a) sen(x) = sen(a)

b) cos(x) = cos(a)

c) tg(x) = tg(a)

Lembrando que a∈R e x é a incógnita.

Vamos agora aprender a resolver cada uma das três equações.

 

 

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL sen(x) = sen(a)

Para que x e a tenham o mesmo seno, basta que suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos senos.

Nessas condições, podemos afirmar que os arcos abaixo possuem o mesmo seno, onde k∈Z e representa a quantidade de voltas no ciclo trigonométrico no sentido horário, se positivo, ou a quantidade de voltas no sentido anti horário, se negativo.

  • a+2kπ
  • (π-a) + 2kπ

Veja como fica o conjunto solução:

S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = (π-a) + 2kπ, k∈Z}

resolucao equacao fundamental senx=sena

 

EXEMPLO 1

Resolver a equação senx = sen(π/5)

Temos:

x = π/5 + 2kπ, k∈Z

ou

x = (π – π/5) + 2kπ = 4π/5 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:

S = {x∈R | x = π/5 + 2kπ ou x = 4π/5 + 2kπ, k∈Z}

 

 

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL cos(x) = cos(a)

Para que x e a tenham o mesmo seno, é necessário e suficiente que suas extremidades coincidam ou sejam simétricas em relação ao eixo dos cossenos.

Podemos afirmar que os arcos abaixo possuem o mesmo cosseno, onde k∈Z e representa a quantidade de voltas no ciclo trigonométrico no sentido horário, se positivo, ou a quantidade de voltas no sentido anti horário, se negativo.

  • a+2kπ
  • -a + 2kπ

Podemos representar o conjunto solução da seguinte forma:

S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = (π-a) + 2kπ, k∈Z}

resolucao da equacao fundamental cosx=cosa

 

EXEMPLO 2

Resolver a equação cosx = cos(π/3)

Temos:

x = π/3 + 2kπ, k∈Z

ou

x = -π/3 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:

S = {x∈R | x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ, k∈Z}

 

 

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL tg(x) = tg(a)

Na tangente também temos dois casos: ou as extremidades de x e a são coincidentes, ou são simétricas em relação do centro do ciclo trigonométrico.

Podemos afirmar que os arcos abaixo possuem a mesma tangente, onde k∈Z e representa a quantidade de voltas no ciclo trigonométrico no sentido horário, se positivo, ou a quantidade de voltas no sentido anti horário, se negativo.

  • a+2kπ
  • (a+π) + 2kπ

Podemos representar o conjunto solução da seguinte forma:

S = {x∈R | x = a + 2kπ ou x = (a+π) + 2kπ, k∈Z}

resolucao da equacao fundamental tgx=tga

 

EXEMPLO 3

Resolver a equação tgx = 1

Como já é sabido, tg(π/4) = 1.

Temos:

x = π/4 + 2kπ, k∈Z

ou

x = (π/4+π) + 2kπ = 5π/4 + 2kπ, k∈Z

Conjunto solução:

S = {x∈R | x = π/4 + 2kπ ou x = 5π/4 + 2kπ, k∈Z}

Como as soluções são simétricas em relação ao centro, o conjunto solução também pode ser simplificado da seguinte forma:

S = {x∈R | x = π/4 + kπ, k∈Z}

 

 

Como já foi dito, não existe uma fórmula pronta para a resolução das equações trigonométricas. O estudante deve analisar bem a equação e tentar chegar em uma das equações fundamentais. Vamos resolver um exemplo onde isto acontece:

 

EXEMPLO 4

Resolver a equação senx + cosx = 1.

Elevando ambos os membros ao quadrado:

(senx + cosx)² = 1²

(senx)² + 2.senx.cosx + (cosx)² = 1

(senx)² + (cosx)² + 2.senx.cosx = 1

Utilizando a relação fundamental da trigonometria:

1 + 2.senx.cosx = 1

2.senx.cosx = 0

sen(2x) = 0

Daí,

2x = kπ, k∈Z

x = (π/2).k, k∈Z

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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