Procurando exercícios resolvidos sobre sistemas de equações do primeiro grau?
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Confira uma seleção especial de questões comentadas, todas retiradas dos mais diversos concursos públicos realizados pelo país.
Bons estudos.
Questão 1 (PM ES 2013 – Exatus). Quatro amigo, Abel, Bruno, Caio e Daniel, são colecionadores de figurinhas. Sabe-se que Abel possui metade da quantidade de figurinhas de Daniel mais um terço da quantidade de figurinhas de Caio; que Bruno possui o dobro da quantidade de figurinhas de Caio mais a quarta parte da quantidade de figurinhas de Daniel; que Daniel tem 60 figurinhas, e que Abel e Bruno possuem a mesma quantidade de figurinhas. Os quatro amigos possuem, juntos:
a) 125 figurinhas
b) 128 figurinhas
c) 130 figurinhas
d) 132 figurinhas
e) 135 figurinhas
Resolução:
Tomando:
A = Abel
B = Bruno
C = Caio
D = Daniel
Temos:
A = D/2 + C/3
B = 2C + D/4
D = 60
B = A
A = D/2 + C/3
A = 60/2 + C/3
A = 30 + C/3
B = 2C + D/4
B = 2C + 60/4
B = 2C + 15
De B = A:
2C + 15 = 30 + C/3
2C – C/3 = 30 – 15
(6C – C)/3 = 15
5C/3 = 15
C = 3.15/5
C = 9
A = 30 + C/3
A = 30 + 9/3
A = 30 + 3
A = 33
B = 2C + 15
B = 2.9 + 15
B = 18 + 15
B = 33
A + B + C + D = 33 + 33 + 9 + 60 = 135
Resposta: E
Questão 2 (PM SC 2011 – Cesiep). João tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é:
a) 54
b) 68
c) 32
d) 76
Resolução
Sejam:
X = quantidade de moedas de 0,25
Y = quantidade de moedas de 0,10
Temos então:
x + y = 100
0,25x + 0,10y = 20,20
Da primeira equação:
x = 100 – y
Substituindo na segunda equação:
0,25(100 – y) + 0,10y = 20,20
0,25.100 – 0,25y + 0,10y = 20,20
25 – 0,25y + 0,10y = 20,20
25 – 20,20 – 0,15y = 0
0,15y = 4,80
Y = 4,80/0,15
Y = 32
Daí,
x = 100 – 32 = 68 moedas
Resposta: B
Questão 3 (BB 2010 – Cesgranrio). De acordo com o Plano Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem 62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás?
(A) 12.495
(B) 12.535
(C) 12.652
(D) 12.886
(E) 12.912
Sejam:
x = quantidade de km de estradas pavimentadas
y = quantidade de km de estradas não pavimentadas
De: “ a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem 62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas”
>Temos: y – x = 62868 (1)
De: “ extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas”
Temos: y – 6x = 393 (2)
Fazendo (1) – (2):
y – x – y + 6x = 62868 – 393
5x = 62475
x = 62475/5
x = 12495
Resposta: A
Questão 4 (Guarda Civil SP 2010). Marcos pagou sua conta de energia no valor de R$ 240,00 com notas de R$ 5,00 e R$ 20,00. Sabendo que ele usou 30 notas ao todo, quantas notas havia de cada valor?
a) 23 notas de R$ 5,00 e 7 notas de R$ 20,00.
b) 24 notas de R$ 5,00 e 6 notas de R$ 20,00.
c) 22 notas de R$ 5,00 e 8 notas de R$ 20,00.
d) 18 notas de R$ 5,00 e 12 notas de R$ 20,00.
e) 20 notas de R$ 5,00 e 10 notas de R$ 20,00.
Resolução:
x = quantidade de notas de 5 reais
y = quantidade de notas de 20 reais
Sabendo que o valor da conta foi de R$ 240,00.
5x + 20y = 240 (simplificando por 5)
x + 4y = 48
Sabendo que ele utilizou 30 notas.
x + y = 30
Fazendo (1) – (2):
x + 4y – x – y = 48 – 30
3y = 18
y = 18/3
y = 6
De x + y = 30, temos que x = 24
Resposta: B
Questão 5 (PM PR 2010 – Cops). Considere o sistema linear a seguir:
2ax + 2y = 2
3x + 3y = b
Para quais valores dos parâmetros a e b o sistema tem solução x e y única?
a) a = 1 e b = 2
b) a = 1 e b ≠ 2
c) a qualquer e b ≠ 2
d) a ≠ 1 e b qualquer
e) a qualquer e b = 2
Resolução:
Multiplicando (1) por 1,5 e subtraindo (2):
(3a – 3)x + (3 – 3)y = 2 – b
x = (2 – b)/(3a – 3)
Veja que b está no numerador e pode assumir qualquer valor.
Temos também que o denominador não pode ser igual a zero.
3a – 3 ≠ 0
3a ≠ 3
a ≠ 3/3
a ≠ 1
Resposta: D
Questão 6 (PM ES – AOCP). Em uma ocorrência, foi registrada a apreensão de dois furgões com mercadorias obtidas ilegalmente. No primeiro furgão, foram encontradas 10 caixas da mercadoria A e 12 caixas da mercadoria B, cujo valor total de venda dessas mercadorias resultava em R$ 5.700,00, conforme relatado pelo motorista. No segundo furgão, foram encontradas 20 caixas da mesma mercadoria A e 2 caixas da mesma mercadoria B, cujo valor total de venda dessas mercadorias resultava em R$ 6.340,00, conforme relatado pelo segundo motorista. Considerando que ambos os motoristas falaram a verdade, então o valor de cada caixa do produto B é igual a
A) R$ 230,00.
B) R$ 249,00.
C) R$ 269,00.
D) R$ 280,00.
E) R$ 294,00.
Considere:
a = valor da mercadoria A
b = valor da mercadoria B
No primeiro furgão temos:
10a + 12b = 5700
No segundo furgão temos:
20a + 2b = 6340
O nosso objetivo será resolver o sistema de equações do primeiro grau:
10a + 12b = 5700
20a + 2b = 6340
Dividindo a segunda equação por 2, temos:
10a + 12b = 5700
10a + b = 3170
Subtraindo a segunda da primeira equação:
10a + 12b – 10a – b = 5700 – 3170
11b = 2530
b = 2530/11
b = 230
Resposta: A
Questão 7 (PM PR 2012). 165 soldados têm que se dividir em três grupos. O segundo grupo tem que ter o triplo do primeiro grupo e o terceiro grupo tem que ter a metade do segundo grupo. O número de soldados que o primeiro grupo terá é:
a) 10
b) 16
c) 20
d) 24
e) 30
Resolução:
Sejam “p”, “s” e “t” a quantidade de soldados do primeiro, segundo e terceiro grupos. Temos:
p + s + t = 165 (1)
s = 3p (2)
t = s/2 (3)
Substituindo (2) em (3):
t = 3p/2 (4)
Substituindo (2) e (4) em (1):
p + s + t = 165
p + 3p + 3p/2 = 165
4p + 3p/2 = 165 (multiplicando tudo por 2):
8p + 3p = 330
11p = 330
p = 330/11 = 30
Resposta: E
Questão 8 (PM Pará). No PAN 2011, o Brasil terminou a competição a frente de Cuba no que refere-se ao total de medalhas. A diferença de medalhas entre Brasil e Cuba foi de 5 e o total de medalhas ganhas por eles foi de 277. O número de medalhas ganhas pelo Brasil foi de:
a) 136
b) 139
c) 141
d) 145
e) 150
Resolução:
Vamos armar um sistema de equações, onde b é a quantidade do Brasil e c é a quantidade de Cuba:
b – c = 5
b + c = 277
Somando as duas equações temos:
b – c + b + c = 5 + 277
2b = 282
b = 282/2 = 141
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