Você sabe o que são intervalos reais? Veremos aqui a definição, operações e aplicações para você gabaritar concursos e ENEM.
Bom estudo!
Definição
O conjunto dos números reais, representado pela letra R, possui vários subconjuntos. Alguns desses subconjuntos são chamados de intervalos reais, e são determinados por meio de desigualdades.
Imagine, por exemplo, a infinidade de números reais existentes entre os números 1 e 2. Podemos dizer que todos os números Reais entre 1 e 2 formam um subconjunto dos números reais.
Podemos representar o os números reais que estão no intervalo real entre 1 e 2 de três formas diferentes:
- Utilizando colchetes
I = ]1, 2[
- Utilizando desigualdades
I = {x∈R | 1<x<2}
- Utilizando a reta real
Perceba que representamos o intervalo entre 1 e 2, porém sem incluir esses dois extremos. Neste caso, dizemos que o intervalo é aberto nos extremos 1 e 2.
Veja agora como é a representação deste intervalo, porém com a inclusão dos números 1 e 2 (neste caso, dizemos que o intervalo é fechado nos dois extremos):
- Utilizando os colchetes
I = [1, 2]
Utilizando as desigualdades
I = {x∈R | 1≤x≤2}
Utilizando a reta real
Observou a diferença?
Quando utilizamos os colchetes, nós mudamos o sentido, quando utilizamos as desigualdades, nós alteramos para “menor ou igual”, e quando utilizamos a reta real nós a pintamos. Simples não é mesmo?
Obs: Alguns autores utilizam parênteses no lugar dos colchetes quando pretendem representar intervalos abertos. Veja:
[1, 2[ = [1, 2)
]1, 2[ = (1, 2)
Vamos a outro exemplo:
Representar o subconjunto dos Reais maiores ou iguais a 1:
Utilizando os colchetes:
I = [1, ∞[
Utilizando as desigualdades
I = {x∈R | x≥1}
Utilizando a reta real:
Operações com intervalos reais
A utilização da reta real na resolução de operações entre conjuntos formados por intervalos reais é muito importante. Através dela é possível observar com mais facilidade as operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Veja o exemplo:
Considere os conjuntos abaixo:
A = ]1, 3]
B = [2, 4[
Utilizaremos a reta real para representaremos os intervalos formados pela união e pela interseção de A e B.
Lembrando que:
- A união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A ou que pertencem a B.
- A interseção de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.
Temos:
A∪B = ]1, 4[
A∩B = [2, 3]
Diferença entre intervalos reais
A diferença entre conjuntos é a operação que mais gera dúvidas por parte dos alunos.
Basta lembrar que “A – B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, porém NÃO pertencem ao conjunto B.
Considerando o exemplo anterior, com A = ]1, 3] e B = [2, 4[, temos:
Elementos que pertencem a A e não pertencem a B:
A – B = ]1, 2[
Elementos que pertencem a B e não pertencem a A:
B – A = ]3, 4[
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