Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre cone, todos retirados das últimas provas de concursos.
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Bom estudo!
Questão 1 (PM ES – Exatus 2013). O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:
a) 32π cm³
b) 13π cm³
c) 14π cm³
d) 15π cm³
e) 16π cm³
Resolução
Veja na figura abaixo que, após a rotação em torno da base do triângulo isósceles, teremos um sólido formado por dois cones iguais.
Calcularemos o volume de um deles, e depois multiplicaremos por 2.
Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para o cálculo do raio da base do cone:
5² = 3² + r²
25 = 9 + r²
r² = 25 – 9
r² = 16
r = √16
Calculando o volume do cone:
V = Área da base x altura / 3
V = π . 4² . 3 / 3
V = π . 16
V = 16π cm³
Volume total:
2 . 16π = 32π cm³
Resposta: A
Questão 2 (PM ES – Exatus 2013). Dados um cilindro circular reto e um cone circular reto de mesma altura e mesmo raio, é correto afirmar que o volume do cone é igual a:
a) três vezes o volume do cilindro
b) duas vezes o volume do cilindro
c) metade do volume do cilindro
d) terça parte do volume do cilindro
e) sexta parte do volume do cilindro
Resolução:
Vamos comparar cada uma das fórmulas utilizadas para o cálculo do volume do cone e do cilindro.
Fórmula para cálculo de volume de cilindros:
V = π.r².h
Fórmula para cálculo de volume de cones:
V = (π.r².h)/3
Como altura e raio são iguais, claramente o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro.
Resposta: D
Questão 3 (SEDUC RJ – COPERJ 2011). A figura abaixo mostra um cilindro reto inscrito em um cone: a base inferior do cilindro está sobre a base do cone, e a circunferência da base superior do cilindro está sobre a superfície lateral do cone.
Sabe-se que a altura do cilindro é a metade da altura do cone e que o volume do cilindro é de 150 cm³ . O volume do cone é:
a) 400 cm³
b) 360 cm³
c) 300 cm³
d) 240 cm³
e) 200 cm³
Resolução
Veja na figura abaixo que podemos utilizar a semelhança de triângulos para concluir que o raio do cilindro também é metade do raio do cone.
Volume do cilindro
Vci = área da base . altura
150 = π.r².h
Volume do cone
Vco = área da base . altura / 3
Vco = π.(2r)².2h/3
Vco = π.4r².2h/3
Vco = 8π.r².h/3
Como π.r².h = 150, temos:
Vco = 8.150/3
Vco = 400 cm³
Resposta: A
Questão 4 (PRF 2008). Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta.
a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.
b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.
c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50.π.r (1 – r/10)
d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.
e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.
Resolução
Veja na figura que o cilindro está dentro do cone.
Analisando cada uma das alternativas.
a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.
Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente.
Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja:
Obs: o fato de -2,5r ser negativo nos prova que a função afim é decrescente.
b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.
Utilizando a fórmula:
V = π.r².h
V = π.r².(25 – 25r/10)
V = 25π.r² – 25π.r³/10
Veja que a função é cúbica e não quadrática.
c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r.
A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10)
d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.
h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20
e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.
A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice)
xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5
Resposta: C
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