Quer trabalhar na maior empresa de petróleo do país? Confira aqui a prova resolvida do concurso para a Petrobras, realizado em 2017 pela Cesgranrio, para o cargo de técnico de operações júnior.

Veja na sessão provas resolvidas a resolução referente a outros concursos.

Bom estudo!

 

 

Questão 11. Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com p + q = 13. Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?

(A) 16

(B) 32

(C) 36

(D) 42

(E) 46

 

Resolução

Clique aqui para assistir a resolução no YouTube.

A fórmula utilizada para calcular a quantidade de subconjuntos de um conjunto com n elementos é a seguinte:

q = 2ⁿ

Onde:

q é a quantidade de subconjuntos

n é a quantidade de elementos

 

Pela fórmula, temos que:

• o conjunto P possui 2^p subconjuntos
• o conjunto Q possui 2^q subconjuntos

 

Sabendo que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32:

 

O enunciado também informa que p + q = 13. Basta então resolver o seguinte sistema de equações:

p + q = 13

p – q = 5

 

Somando as equações:

p + q + p – q = 13 + 5

2p = 18

p = 9

 

Calculando o valor de q:

p + q = 13

9 + q = 13

q = 13 – 9

q = 4

 

Calculando o produto pq:

p.q = 9.4 = 36

Resposta: C

 

 

Questão 12. Qual o maior valor de k na equação log(kx) = 2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz?

(A) 0

(B) 3

(C) 6

(D) 9

(E) 12

 

Resolução

log(kx) = 2log(x+3)

Aplicando a propriedade do logaritmo de potências:

log(kx) = log(x+3)²

kx = (x+3)²

kx = x² + 6x + 9

x² + 6x – kx + 9 = 0

x² + (6 – k)x + 9 = 0

 

Calculando o valor de Delta na equação do segundo grau:

Δ = b² – 4ac

Δ = (6 – k)² – 4.1.9

Δ = 36 – 12k + k² – 36

Δ = k² – 12k

 

Como sabemos, uma equação do segundo grau possui apenas uma raiz quando Δ = 0. Vamos calcular para quais valores de k isto acontece.

k² – 12k = 0

k(k – 12) = 0

k = 0 ou k = 12

 

Veja que a equação possui apenas uma raiz quando k = 0 ou k = 12. Como a questão pede o menor valor, temos que k = 12.

Resposta: E

 

 

Questão 13. Quantos valores reais de x fazem com que a expressão abaixo assuma o valor de 1?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

 

Resolução

A expressão pode assumir o valor de 1 em 2 casos distintos:

• expoente igual a zero, pois “todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1”;
• base igual a 1;
• base igual a -1 e expoente par.

 

Caso 1.

Vamos procurar os valores de x que fazem com que o expoente seja igual a zero.

x² + 4x – 60 = 0

 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 4² – 4 . 1 .(-60)

Δ = 16 + 240

Δ = 256

 

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a

x = (-4 +- √256)/2.1

x = (-4 +- 16)/2

x’ = 12/2 = 6

x” = -20/2 = -10

 

Caso 2

Vamos procurar os valores de x que fazem a base ser igual a 1.

x² – 5x + 5 = 1

x² – 5x + 5 – 1 = 0

x² – 5x + 4 = 0

 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-5)2 – 4.1.4

Δ = 25 – 16

Δ = 9

 

Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a

x = (-(-5) +- √9)/2.1

x = (5 +- 3)/2

x’ = 8/2 = 4

x” = 2/2 = 1

 

Caso 3

Vamos procurar os valores de x que fazem a base ser igual a -1.

x² – 5x + 5 = -1

x² – 5x + 5 + 1 = 0

x² – 5x + 6 = 0

 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (-5)² – 4 . 1 . 6

Δ = 25 – 24

Δ = 1

 

Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a

x = (-(-5) + √1)/2.1

x = (5 +- 1)/2

x’ = 6/2 = 3

x” = 4/2 = 2

 

Basta agora verificar se os expoentes serão pares em algum desses dois casos.

• Para x = 2

x² + 4x – 60

2² + 4.2 – 60

4 + 8 – 60

-48 (par)

• Para x = 3

x² + 4x – 60

3² + 4.3 – 60

9 + 12 – 60

-39 (ímpar)

 

Assim, existem 5 valores de x que fazem a expressão assumir o valor numérico 1:

-10, 1, 2, 4 e 6

Resposta: D

 

 

Questão 14. Uma loja de departamento colocou 11 calças distintas em uma prateleira de promoção, sendo 3 calças de R$ 50,00, 4 calças de R$ 100,00 e 4 calças de R$ 200,00. Um freguês vai comprar exatamente três dessas calças gastando, no máximo, R$ 400,00. De quantos modos diferentes ele pode efetuar a compra?

(A) 46

(B) 96

(C) 110

(D) 119

(E) 165

 

Resolução

O freguês irá comprar 3 calças, onde tanto faz a ordem, ou seja, temos uma combinação de 11 elementos, tomados 3 a 3. O único problema é que temos algumas restrições, pois a compra não pode ultrapassar o valor total de 400 reais.

Resolveremos a questão calculando a quantidade possível de combinações, e descartando os casos onde o valor passaria de 400 reais.

 

• Quantidade total de combinações

C11,3 = 11! / 3!.(11-3)!

C11,3 = 11! / 3!.8!

C11,3 = 165

• Quantidade de combinações com 3 calças de 200 reais

C4,3 = 4!/3!.(4-3)!

C4,3 = 4!/3!.1!

C4,3 = 4

• Quantidade de combinações com 2 calças de 200 reais e qualquer uma das outras 7 de 50 ou 100 reais

7.C4,2 = 7.4!/2!.(4-2)!

7.C4,2 = 7.4!/2!.2!

7.C4,2 = 7.6

7.C4,2 = 42

 

Total:

165 – 4 – 42 = 119

Resposta: D

 

 

Questão 15. A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por

 

 

Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?

(A) 1

(B) 3

(C) 27

(D) 39

(E) 40

 

Podemos achar o quarto termo da PG subtraindo a soma dos quatro primeiros termos pela soma dos três primeiros termos.

 

 

 

S₄ – S₃ = 40 – 39 = 1

Resposta: A

 

 

Questão 16. Na matriz abaixo, m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos tais que m < n < p.

Qual é o valor da expressão abaixo?

(A) 2

(B) 8

(C) 16

(D) 20

(E) 22

 

Analisando a construção da matriz e as propriedades dos determinantes, podemos escolher quaisquer valores para m, n e p, que o valor de detA não será alterado.

Sejam:

m = 1

n = 3

p = 5

 

Veja como ficará a nossa matriz A:

 

Calculando detA:

detA = 1.3.25 + 1.5.1 + 1.1.9 – 1.3.1 – 9.5.1 – 25.1.1

detA = 75 + 5 + 9 – 3 – 45 – 25

detA = 16

 

Concluindo:

Resposta: E

 

 

Questão 17. A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.

Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone?

(A) 800π

(B) 784π

(C) 748π

(D) 684π

(E) 648π

 

Resolução

O volume da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone é justamente o volume do cilindro, subtraído dos volumes do cilindro e da esfera. Veja:

V(cone) – V(cilindro) – V(esfera)

 

As fórmulas de volume do cilindro e do cone dependem apenas do raio e da altura, e essas informações já foram dadas pela banca. A maior dificuldade é em relação à esfera, da qual não sabemos a medida do raio. Esse será o nosso objetivo inicial.

Utilizando as informações apresentadas no enunciado, podemos desenhar um triângulo retângulo ABC, cujos catetos medem 24 cm (altura do cilindro) e 7 cm (raio da base do cilindro). A medida hipotenusa AC pode ser calculada através do teorema de Pitágoras.

AC² = AB² + BC²

AC² = 24² + 7²

AC² = 576 + 49

AC² = 625

AC = √625

AC = 25 cm

 

 

Na figura, D, E e F são os pontos de tangencia da circunferência de centro O.

BF = r ⇒ FC = 7-r ⇒ EC = 7-r

BD = r ⇒ AD = 24-r ⇒ AE = 24-r

 

Como AE + EC = AC = 25:

24 – r + 7 – r = 25

31 – 2r = 25

2r = 31 – 25

2r = 6

r = 3 cm

 

• Calculando o volume do cilindro de raio 7 e altura 24:

V = Área da base x altura

V = π.7².24

V = 1176π

 

• Calculando o volume do cone de raio 7 e altura 24:

V = Área da base x altura / 3

V = π.7².24/3

V = 392π

 

• Calculando o volume da esfera de raio 3:

V = (4/3).π.r³

V = (4/3).π.3³

V = 36π

 

Finalizando:

1176π – 392π – 36π = 748π

Resposta: C

 

 

Questão 18. Um arame de extremidades C e D e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir.

Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D?

(A) √3

(B) 2√3

(C) 4√3

(D) 2

(E) 4

 

Resolução

Podemos resolver a questão traçando a reta AD e “brincando” com os ângulos dos triângulos.

Como o arame mede 8 cm, AC = AB = BC = CD = 2 cm.

Como ABC é um triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60º, de onde podemos concluir que o ângulo externo mede 120º.

Observando que DCA é um triângulo isósceles, podemos concluir que os ângulos internos A e D medem 30º. Daí, o triângulo ABD é retângulo em A.

Utilizando o teorema de Pitágoras para calcular o valor do cateto AD:

BD² = AB² + AD²

4² = 2² + AD²

16 = 4 + AD²

AD² = 16 – 4

AD² = 12

AD = √12

AD = 2.√3

Resposta: B

 

 

Questão 19. Qual a equação reduzida da reta que contém a altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A, B e C são os pontos (3, 4), (1, 1) e (6, 0), respectivamente?

(A) y = 5x – 11

(B) y = 6x – 11

(C) y = – 5x + 11

(D) y = – 6x – 11

(E) y = 5x + 11

 

Temos na figura abaixo o triângulo ABC e a reta (verde) que representa a altura relativa ao lado BC.

Calculando o coeficiente angular (m₁) de BC:

m₁ = (y_c – y_b)/(x_c – x_b)

m₁ = (0 – 1)/(6 – 1)

m₁ = -1/5

 

Sabendo que a altura é perpendicular a BC, podemos calcular o seu coeficiente angular (m₂) através da seguinte relação:

m₁.m₂ = -1

-1/5.m₂ = -1

m₂ = 5

 

Agora que sabemos o coeficiente angular da altura relativa a BC, a equação reduzida será da seguinte forma:

y = 5.x + n, onde n é o coeficiente angular.

 

Veja que a altura passa pelo vértice A, ou seja, o ponto (3,4) pertence à altura. Substituindo os valores de x e y:

y = 5.x + n

4 = 5.3 + n

4 = 15 + n

n = 4 – 15

n = -11

 

Daí, a equação reduzida da altura relativa a BC é:

y = 5.x – 11

Resposta: A

 

 

Questão 20. Um feirante sabe que consegue vender seus produtos a preços mais caros, conforme o horário da feira, mas, na última hora, ele deve vender suas frutas pela metade do preço inicial. Inicialmente, ele vende o lote de uma fruta a R$ 10,00. Passado algum tempo, aumenta em 25% o preço das frutas. Passado mais algum tempo, o novo preço sofreu um aumento de 20%. Na última hora da feira, o lote da fruta custa R$ 5,00. O desconto, em reais, que ele deve dar sobre o preço mais alto para atingir o preço da última hora da feira deve ser de

(A) 12,50

(B) 10,00

(C) 7,50

(D) 5,00

(E) 2,50

 

Resolução

Clique aqui para assistir a resolução da questão no YouTube.

Preço inicial: R$ 10,00

Preço após os dois aumentos:

10 . 1,25 . 1,20 = 15

 

Se na última hora da feira o lote da fruta custa 5 reais, o desconto final foi de 10 reais.

Resposta: B

 

 

Ufaaaaaaaaaaaa!

Você conferiu a resolução da prova da Petrobras 2017, cargo de técnico de operação júnior.

A Cesgranrio caprichou na prova. Realmente não estava fácil. Os candidatos foram bem exigidos!

Boa sorte a todos e fiquem com Deus!