Procurando exercícios resolvidos sobre volumes de sólidos geométricos?
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Confira aqui uma seleção especial com várias questões comentadas, retiradas de concursos realizados por todo o Brasil.
Questão 1 (PM ES – Exatus 2013). Um caneco em formato de hemisfério cujo raio interno mede 20 cm é utilizado para transferir água de outro recipiente maior para copos em formato de cilindro circular reto, com raio da base medindo 4 cm e altura 15 cm. Considerando que esse caneco esteja com água equivalente a 4/5 do seu volume máximo, a água contida nele é suficiente para encher quantos copos?
a) 13
b) 14
c) 10
d) 16
e) 17
Resolução
Volume do copo em formato de hemisfério:
Como ele tem formato de hemisfério, basta calcular o volume de uma esfera e dividir por 2:
Volume da esfera: V = π.r³.4/3 = π.20³.4/3 = 32000π/3
Volume do copo = 32000π/3 / 2 = 16000π/3
A questão informa que o copo estava com 4/5 da capacidade:
16000π/3 x 4/5 = 12800.π/3
Volume dos copos em formato de cilindro:
Volume do cilindro = altura x π.r² = 15.π.4² = 240π
Dividindo os dois volumes, o π é cancelado e temos 17,7777 copos
Resposta: E
Questão 2 (PM ES – Exatus 2013). Um estoquista, ao conferir a quantidade de determinado produto embalado em caixas cúbicas de arestas medindo 40 cm, verificou que o estoque do produto estava empilhado de acordo com a figura que segue:
Ao realizar corretamente os cálculos do volume dessa pilha de caixas, o resultado obtido foi:
a) 0,64 m³
b) 1,6 m³
c) 6,4 m³
d) 16 m³
e) 64 m³
Resolução:
Temos 10 caixas cúbicas de 40 cm de aresta.
Sabe-se que 40cm = 0,4m
Cada caixa possui volume de 0,4×0,4×0,4 = 0,064 m³
Como temos 10 caixas: 10 x 0,064 = 0,64 m³
Resposta: A
Questão 3 (PM ES – Exatus 2013). Dados um cilindro circular reto e um cone circular reto de mesma altura e mesmo raio, é correto afirmar que o volume do cone é igual a:
a) três vezes o volume do cilindro
b) duas vezes o volume do cilindro
c) metade do volume do cilindro
d) terça parte do volume do cilindro
e) sexta parte do volume do cilindro
Resolução:
Fórmula para cálculo de volume de cilindros
V = π.r².h
Fórmula para cálculo de volume de cones
V = (π.r².h)/3
Como altura e raio são iguais, o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro.
Resposta: D
Questão 4 (PM ES – Funcab 2013). Polícia Militar apreende mais de 3 kg de pasta base de cocaína em Linhares Em uma mochila foram apreendidos 84 tabletes plastificados de cocaína e um tablete grande medindo 20 x 10 cm da mesma substância, totalizando cerca de 3 quilos de cocaína, e R$ 91,00 em espécie. Caso o tablete grande mencionado tenha o formato de um paralelepípedo reto retângulo com 6 cm de altura, o valor do volume total de cocaína desse tablete, em cm³, será de:
A) 400
B) 600
C) 800
D) 1.000
E) 1.200
Resolução:
O tablete possui 20 cm de comprimento, 10 cm de largura e 6 cm de altura.
Volume = 20 x 10 x 6 = 1200 cm³
Resposta: E
Questão 5 (PM ES – Exatus 2013). Supondo as dimensões internas de cada pino plástico utilizado na embalagem de cocaína como sendo um cilindro de raio 0,5 cm e altura 4 cm, o valor do volume total de cocaína, desse pino plástico, completamente cheio, em cm³, será de:
(Adote o valor aproximado de π= 3 )
A) 2,5
B) 3
C) 3,5
D) 4
E) 4,5
Resolução:
Vamos utilizar a fórmula para calculo de volume do cilindro:
Volume = π . raio² . altura = π.0,5².4 = 3.0,25.4 = 3
Resposta: B
Questão 6 (Sejus ES – Vunesp 2013). A quantidade de certo líquido, correspondente a 3/4 de um litro, será colocado em um recipiente de modo que ele fique completamente cheio. Para isso foram selecionados 3 recipientes com formas geométricas e medidas internas descritas a seguir:
I. Um paralelepípedo reto retângulo de dimensões: comprimento 15 cm, largura 2,5 cm e altura 20 cm.
II. Um cilindro reto de raio da base 5 cm e altura 10 cm. (use π = 3)
III. Um cubo de aresta igual a 5 cm.
Dos 3 recipientes oferecidos, atende ao que foi proposto
(A) I e II, apenas.
(B) I, II e III.
(C) I, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) II e III, apenas.
Resolução:
Temos que 1 litro pode ser colocado em um recipiente de 1000cm³
Então temos que descobrir se em algum dos 3 casos o volume é ¾ disso, ou seja, se o volume é 750cm³
I) Volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura = 15 x 2,5 x 20 = 750cm³
II) Volume do cilindro = área da base x altura = π.5².10 = 3.25.10 = 750cm³
III) Volume do cubo = lado³ = 5³ = 125cm³
Resposta: A
Questão 7 (Bombeiros ES – Cespe 2011). Uma caixa-d’água tem formato de um paralelepípedo retângulo, e outra, de um cilindro circular. A caixa-d’água com formato de paralelepípedo tem base igual a 20 m e 15 m, e altura igual a 5 m. O raio da base da caixa com formato cilíndrico mede 10 m, e a altura, 5 m. Tomando 3,14 como o valor aproximado da constante π, julgue os itens a e b:
a) A caixa com formato de paralelepípedo tem mais capacidade de armazenamento de água que a caixa com formato cilíndrico.
Resolução:
Volume do paralelepípedo = L X C X A = 20 x 15 x 5 = 1500 m³
Resposta: ERRADO
b) A caixa com formato cilíndrico tem capacidade de 1.570 m³.
Volume do cilindro = A X π X r² =5 x 3,14 x 10² = 5 x 3,14 x 100 = 1570 m³
Resposta: CERTO
Questão 8 (Bombeiros ES – Cespe 2011). Em uma unidade do Corpo de Bombeiros, os três reservatórios utilizados para armazenamento de água têm, respectivamente, os formatos cúbico, cilíndrico e cônico. O cubo tem arestas iguais a 1 m, o cilindro e o cone têm alturas iguais a 1 m, os raios das bases do cilindro e do cone são iguais a 0,5 m e o cone é circular reto. Considerando 3,14 o valor aproximado de π e desprezando as espessuras dos reservatórios, julgue os itens a e b:
a) A capacidade do reservatório cilíndrico é 78,5% da capacidade do reservatório cúbico.
Resolução
Volume do cubo = 1³ = 1 m³
Volume do cilindro = π x r² x altura = 3,14 x 0,5² x 1 = 3,14 x 0,25 = 0,785 m³
Resposta: CERTO
b) A capacidade do reservatório cilíndrico é 3 vezes a capacidade do reservatório cônico.
Resolução
Basta observar as fórmulas dos volumes.
Cilindro = π x r² x altura
Cone = π x r² x altura / 3
Resposta: CERTO
Questão 9 (PRF – Cespe 2008). Considere que um cilindro circular reto seja inscrito em um cone circular reto de raio da base igual a 10 centímetros e a altura igual a 25 centímetros, de forma que a base do cilindro esteja no mesmo plano da base do cone. Em face dessas informações e, considerando, ainda, que h e r correspondam à altura e ao raio da base do cilindro, respectivamente, assinale a opção correta.
a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.
b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.
c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50.π.r.(1 – r/10)
d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.
e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.
Resolução
Veja na figura que o cilindro está dentro do cone.
Vamos agora analisar cada uma das alternativas.
a) A função afim que descreve h como função de r é crescente.
Basta verificar que a medida que r aumenta, h diminui, ou seja, a função é decrescente.
Para encontrar a equação de h, vamos usar o método dos triângulos proporcionais. Se o triângulo maior, ABC, e o triângulo menor CDE. Veja:
(o fato de -2,5r ser negativo nos prova que a função afim é decrescente)
b) O volume do cilindro como uma função de r é uma função quadrática.
V = π.r².h = π.r².(25 – 25r/10) = 25π.r² – 25π.r³/10
Veja que a função é cúbica e não quadrática.
c) Se A(r) é a área lateral do cilindro em função de r, então A(r) = 50 r.
A(r) = base.altura = 2π.r.h = 2π.r.(25 – 25r/10) = 50π.r (1 – r/10)
d) É possível encontrar um cilindro de raio da base igual a 2 centímetros e altura igual a 19 centímetros que esteja inscrito no referido cone.
h = 25 – 25r/10 = 25 – 25.2/10 = 25 – 5 = 20
e) O cilindro de maior área lateral que pode ser inscrito no referido cone tem raio da base superior a 6 centímetros.
A(r) = 50π.r (1 – r/10) = 50π.r – 5π.r². (função quadrática decrescente, o ponto máximo de r é o vértice)
xv = -b/2a – -50π/2(-5π) = 5
Resposta: C