Boa noite caros candidatos a uma vaga na Polícia Militar do Estado de Pernambuco. Nesta página apresentaremos a prova resolvida do concurso da PM PE 2016, prova aplicada hoje pela UPENET.
A banca cobrou algumas questões bem interessantes sobre funções quadráticas e análise combinatória, porém deixou margem para algumas anulações. Das 10 questões de matemática, 3 são passíveis de anulação.
Boa sorte a todos!
Questão 26. Em uma campanha de doações à Creche Marias de Deus, feitas por um grupo de lojistas de uma pequena cidade, foram arrecadados 17 600 reais. Na reunião que decidiu quanto aos valores a serem doados por cada lojista, ficou acordado que a loja de menor lucro líquido anual doaria 800 reais, a segunda loja de menor lucro líquido anual, 400 reais a mais que a primeira, a terceira, 400 reais a mais que a segunda e assim sucessivamente.
Quantas lojas fizeram doação à Creche Marias de Deus?
A) 6
B) 9
C) 8
D) 10
E) 11
Resolução
A questão fala que foram arrecadados 17600 reais e todas as lojas doaram valores diferentes, sendo que a menor doou 800 reais, a segunda menor 1200, a terceira menor 1600…
Temos claramente uma Progressão Aritmética (PA), onde o primeiro termo é o 800, a razão é 400, e a soma dos termos é 17600. Precisamos descobrir a quantidade de termos.
Pela fórmula da soma de termos de uma PA:
Pela fórmula do termo geral de uma PA:
Substituindo o valor de an na primeira fórmula:
Podemos simplificar a equação do segundo grau, dividindo todos os termos por 400. Teremos:
n² + 3n – 88 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau pelo método da soma e produto:
S = -b/a = -3/1 = -3
P = c/a = -88/1 = -88
Os dois números cuja soma é -3 e o produto é -88 são -11 e 8. Logo o conjunto solução é S = {-11, 8}.
Como buscamos o valor de n, que representa o número de lojas, n não pode ser negativo, daí temos que o número de lojas é 8.
Resposta: C
Questão 27. O ponto de interseção das curvas de oferta O e demanda D é chamado de “ponto de equilíbrio de mercado”. A abscissa desse ponto (preço de equilíbrio) é o preço de mercado para o qual a oferta é igual à demanda, ou seja, o preço para o qual não há escassez nem excesso do produto. Na figura abaixo, temos o esboço dos gráficos da função oferta O(x) = x² + x – 460 e da função demanda D(x) = 500 – x de certo produto, onde P é o ponto de
equilíbrio.
Qual é a demanda desse produto no mercado, quando ele estiver sendo oferecido pelo preço de equilíbrio?
A) 260 unidades
B) 310 unidades
C) 382 unidades
D) 470 unidades
E) 410 unidades
Resolução:
O ponto de equilíbrio ocorre quando as funções assumem os mesmos valores. Vamos descobri-lo:
x² + x – 460 = 500 – x
x² + x +x – 500 – 460 = 0
x² + 2x – 960 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau pelo método da soma e produto:
S = -b/a = -2/1 = -2
P = c/a = -960/1 = -960
Os dois números cuja soma é -2 e o produto é -960 são -32, 30, daí o conjunto solução da equação é S = {-32, 30}.
Como o preço não pode ser negativo, temos que x = 30.
Agora basta utilizarmos qualquer das funções para calcularmos a demanda. Vamos utilizar a mais fácil:
D(30) = 500 – 30 = 470
Resposta: D
Questão 28. O domínio da função real f definida por f(x) = √(x-2) + √(2x-6) é o subconjunto dos reais, representado pelo intervalo
a) [0, +∞[
b) [2, +∞[
c) [1, +∞[
d) [5, +∞[
e) [3, +∞[
Resolução
Sabemos que não existe raiz real de um número negativo. Devemos então analisar os valores de x dentro dos radicais, de modo que:
No primeiro radical devemos ter x – 2 ≥ 0.
Daí, x ≥ 2.
No segundo radical devemos ter 2x – 6 ≥ 0.
Daí, 2x ≥ 6, e x ≥ 3.
Veja que x só pode assumir valores maiores ou iguais a 3, pois caso contrário, teremos uma raiz de um número negativo. Logo:
Domínio de f = [3, +∞[
Resposta: E
Questão 29. Antônio resolveu fazer duas pequenas aplicações em regime de juros compostos, num prazo de apenas um mês. Ele vai aplicar R$ 1 000,00, parte no Banco Alfa e parte no Banco Beta. Esses bancos cobram, respectivamente, uma taxa de 5% e 6% ao mês. Se Antônio resgatou o mesmo valor nas duas aplicações, quais os valores aproximados de investimento em cada banco?
A) R$ 392,00 e R$ 698,00
B) R$ 498,00 e R$ 502,00
C) R$ 474,00 e R$ 526,00
D) R$ 396,00 e R$ 604,00
E) R$ 520,00 e R$ 480,00
Resolução
Uma coisa é certa, para que o valor de resgate seja o mesmo, Antônio deve aplicar mais no banco que paga um juros menor. A única opção com essas características é a letra E, porém essa opção não está correta pois:
520,00 x 1,05 = 546,00
480,00 x 1.06 = 508,80
Percebe-se que não existe igualdade.
O gabarito oficial diz que a resposta correta é a letra B. Eu estava verificando algumas possibilidades de erro da banca e percebi que na verdade os valores estão trocados. Veja:
Se aplicarmos 5% sobre 502,00:
502,00 x 1,05 = 527,10
Se aplicarmos 6% sobre 498,00:
498,00 x 1,06 = 527,88
Resposta:. B, desde que a ordem seja trocada. Como a banca não utilizou a palavra respectivamente, acho difícil anular, mas quem errou vale a pena tentar.
30. Num batalhão da região metropolitana, 28% dos soldados são mulheres, e destas, 1,5% são residentes da cidade do Recife. Desse mesmo batalhão, 5% são homens que residem nessa mesma cidade. Qual é a probabilidade de um soldado desse batalhão, escolhido ao acaso, ser residente da cidade do Recife?
A) 1,18%
B) 4,02%
C) 3,50%
D) 2, 10%
E) 6, 98%
Resolução
Queremos a probabilidade de um soldado ser residente em Recife.
Temos que 28% são mulheres, e destas, 1,5% mora em Recife. Daí:
28% x 1,5% = 0,42%
Agora o ponto polêmico. Veja o que diz a questão: “Desse mesmo batalhão, 5% são homens que residem nessa mesma cidade”. A questão não fala que 5% dos homens são residentes em Recife, fala que 5% do batalhão é formado por homens que moram em Recife. Percebeu a diferença?
Temos então que a porcentagem total de residentes em Recife é de:
0,42% + 5% = 5,42%
Não existe essa opção, logo a questão deve ser anulada.
O erro da banca foi esse:
Como 28% do batalhão é formado por mulheres, é fácil concluir que os homens correspondem a 72%. A banca calculou 5% de 72%, que corresponde a 3,6%, que somados aos 0,42% das mulheres, da a resposta do gabarito.
Questão 31. Os batalhões que fazem parte da Diretoria Integrada Metropolitana da Polícia Militar (DIMPM) no Recife são os seguintes:
1º Batalhão da Polícia Militar
6º Batalhão da Polícia Militar
11º Batalhão da Polícia Militar
12º Batalhão da Polícia Militar
13º Batalhão da Polícia Militar
16º Batalhão da Polícia Militar
17º Batalhão da Polícia Militar
18º Batalhão da Polícia Militar
19º Batalhão da Polícia Militar
20º Batalhão da Polícia Militar
Se quatro batalhões foram selecionados ao acaso para indicar, cada um, oitenta militares para uma missão num país
asiático, por um período de seis meses, qual é a probabilidade de esse batalhão ser de ordem menor ou igual a 12?
A) 90%
B) 50%
C) 60%
D) 80%
E) 40%
Ao meu ver faltou alguma informação na questão pois ela pede “qual é a probabilidade de esse batalhão…”. Mas qual batalhão? Precisamos escolher 4.
Deve ser anulada por estar mal formulada.
Questão 32. Um foguete foi lançado de um ponto O do solo e descreveu uma trajetória em forma de parábola, até retornar ao solo. Se ele atingiu as alturas de y = 35m e y = 60m nos instantes x = 10s e x = 20s, respectivamente, qual foi a altura máxima alcançada por ele?
A) 40 m
B) 50 m
C) 60 m
D) 80 m
E) 70 m
Resolução
Se a trajetória do foguete foi em forma de parábola, podemos utilizar a função do segundo grau cujo gráfico é essa parábola.
Sabemos que uma função do segundo grau é da forma f(x) = ax² + bx + c.
Também sabemos 3 pontos dessa parábola: (0, 0), (10, 35) e (20, 60).
Vamos substituir esses valores para descobrirmos os valores de a, b e c:
Como a parábola corta o eixo y no ponto (0, 0), temos que c = 0, daí f(x) = ax² + bx
Substituindo os valores (10, 35):
35 = a.10² + b.10
35 = 100a + 10b
Substituindo os valores (20, 60):
60 = a.20² + b.20
60 = 400a + 20b
Basta resolvermos o sistema:
100a + 10b = 35
400a + 20b = 60
Multiplicando a primeira equação por -2:
-200a – 20b = -70
400a + 20b = 60
Somando as equações:
-200a – 20b + 400a + 20b = -70 + 60
200a = -10
a = -1/20
Substituindo na segunda equação:
400a + 20b = 60
400(-1/20) + 20b = 60
-20 + 20b = 60
20b = 60 + 20
20b = 80
b = 4
Daí, a função será f(x) = (-1/20).x² + 4x
Vamos calcular o instante onde a altura é máxima, que é o x do vértice da parábola:
xv = -b/2a
xv = -4/2(-1/20)
xv = 40
Veja que no instante 40 a altura é máxima.
Calculando a altura nesse instante:
f(x) = (-1/20).x² + 4x
f(40) = (-1/20).40² + 4.40
f(40) = -80 + 160
f(40) = 80
Daí, altura máxima é 80 m.
Resposta: D
Questão 33. Em certa cidade, a bandeirada comum numa corrida de táxi custa R$ 4,32. Na bandeira 1, o cliente paga R$ 2,10 por quilômetro rodado, e na bandeira 2, ele paga R$ 2,54. Se Carlos pagou R$ 65,28 por uma corrida na bandeira 2, qual foi a quilometragem de sua corrida?
A) 20 km
B) 26 km
C) 24 km
D) 28 km
E) 30 km
Resolução
A função afim que representa o custo em relação a quilometragem rodada na bandeira 2 é:
c(x) = 4,32 + 2,54.x
Como ele pagou 65,28:
65,28 = 4,32 + 2,54.x
65,28 – 4,32 = 2,54.x
2,54x = 60,96
x = 60,96/2,54
x = 24
Resposta: C
Questão 34. Num dia de chuva forte, foi identificada uma goteira no teto da sala de vídeo. Para controlar o pinga-pinga, a servente colocou uma pequena vasilha no chão, abaixo do local de onde as gotas caíam. Na primeira hora, a vasilha recebeu 5 gotas de chuva; na segunda hora, 25 gotas; na terceira, 125 gotas e assim por diante. Depois de quantas horas, essa vasilha recebeu 78 125 gotas?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 8
E) 9
Resolução
Se fatorarmos o valor 78125, temos:
78125 = 5.5.5.5.5.5.5
Nota-se que o número primo 5 aparece 7 vezes, logo essa quantidade de gotas acontece após 7 horas.
Resposta: A
Questão 35. Um grupo de inquérito é formado por 8 oficiais e 4 soldados. Para analisar os processos, formam-se comissões com 4 oficiais e 2 soldados. Sendo A um oficial qualquer e B um soldado qualquer, qual é o número de comissões de que participa o oficial A e não participa o soldado B?
A) 105
B) 87
C) 64
D) 256
E) 504
Resolução
Para formarmos um grupo de 4 oficiais, onde o oficial A precisa estar, precisamos escolher os outros 3 entre 7 oficiais restantes. Temos uma combinação de 3 em 7:
C3,7 = 7!/3!.4! = 35
Para formarmos um par de 2 soldados, onde o soldado B não pode estar, precisamos escolher os 2 entre os outros 3 soldados restantes. Temos uma combinação de 2 em 3:
C2,3 = 3!/2!.1! = 3
O total será:
35 x 3 = 105
Resposta: A
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Boa sorte a todos e que Deus esteja com vocês!