Confira aqui todo o que você precisa saber sobre a Progressão Aritmética, muito conhecida pela abreviação PA Vamos falar sobre a definição, a fórmula do termo geral, e a fórmula da soma dos termos, com muitos exemplos, é claro.
Bom estudo a todos!
Introdução
Observe a sequência de números:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26…
É fácil observar que a sequência tem um padrão, a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre igual a 3.
Toda sequência com essas características é chamada de Progressão Aritmética.
Definição
Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números reais onde a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre a mesma. Essa diferença constante recebe o nome de razão e é representada pela letra r.
Vejamos alguns exemplos de progressões aritméticas para facilitar o nosso entendimento.
Exemplo 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … (r = 1)
Exemplo 2:
10, 15, 20, 35, 40, … (r = 5)
Exemplo 3:
20, 10, 0, -10, -20, … (r = -10)
Exemplo 4:
0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … (r = 1/2)
Exemplo 5:
6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, … (r = 0)
Razão
Analisando os exemplos, podemos classificar as Progressões Aritméticas de acordo com os valores de r:
- Quando r > 0, dizemos que a PA é crescente, como nos exemplos 1, 2 e 4;
- Quando r < 0, dizemos que a PA é decrescente, como no exemplo 3;
- Quando r = 0, dizemos que a PA é constante, como no exemplo 5.
Termo Geral
O fato da progressão aritmética possuir um padrão nos ajuda a saber como ela se comporta. Basta conhecermos a razão e o primeiro termo da PA para conseguirmos obter qualquer outro.
Para isto temos a “fórmula do termo geral da PA”. Veja:
Seja a sequência abaixo uma PA de razão r e primeiro termo a1.
Podemos descobrir o n-ésimo termo dessa sequência através da fórmula:
Vejamos alguns exemplos de como podemos utilizar a fórmula do termo geral da PA:
Exemplo 6:
Calcular o 25º termo da sequência (5, 9, 13, 17,…)
Resolução:
O primeiro passo é identificar a razão. Percebe-se que a diferença entre um termo e o seu antecessor é sempre 4, logo r=4.
O primeiro termo da PA é 5 e utilizaremos n=25, pois buscamos o 25º termo.
Vamos utilizar a fórmula do termo geral:
Exemplo 7:
Calcular o 12º termo da sequência (15, 10, 5, 0, -5, -10,…)
Resolução:
A diferença entre um termo e o antecessor é sempre -5, logo r=-5.
O primeiro elemento é o 15 e vamos considerar n=12.
Utilizando a fórmula do termo geral:
Soma dos termos
Vamos agora aprender a somar os termos de uma Progressão Aritmética finita apenas conhecendo o primeiro e o último e a quantidade de termos.
Veja a fórmula da soma dos termos de uma PA:
Vejamos alguns exemplos de como podemos utilizar a fórmula.
Exemplo 8:
Calcular o valor de 1+2+3+4+…+100
Resolução:
Analisando a PA, temos que o primeiro termo é 1, o último é 100 e a quantidade também é 100.
Utilizando a fórmula:
Exemplo 9:
Calcular a soma dos números pares de 2 a 50
Resolução:
Considerando os pares de 2 a 50, temos uma PA de razão 2 com 25 termos, primeiro termo 2 e último termo 50.
Utilizando a fórmula:
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