Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre probabilidade, todos retirados dos últimos concursos públicos realizados pelo país.
O ideal é que o estudante leia primeiro o nosso conteúdo sobre o assunto e também sobre análise combinatória.
Bom estudo.
Questão 1 (BNB – FGV). Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas que tem pelo menos uma de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de:
a) 2/13
b) 4/13
c) 5/13
d) 6/13
e) 7/13
Resolução
Sabemos que para calcular probabilidade, basta dividirmos o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis.
Como ele tem pelo menos uma nota de cada, então ele consegue formar 80,00 com uma de 10, uma de 20 e uma de 50.
Temos que saber como podemos formar os outros 120,00. Vamos dividir em casos:
– Se ele não possuir mais notas de 50, teremos que formar 120,00 com notas de 10 e 20:
São 7 opções: 12 notas de 10; 1 de 20 e 10 de 10; 2 de 20 e 8 de 10; 3 de 20 e 6 de 10; 4 de 20 e 4 de 10; 5 de 20 e 2 de 10; 6 de 20.
– Se ele possuir mais uma nota de 50, teremos que formar 70,00 com notas de 10 e 20:
São 4 opções: 7 notas de 10; 1 de 20 e 5 de 10; 2 de 20 e 3 de 10; 3 de 20 e 1 de 10.
– Se ele possuir mais duas notas de 50, teremos que formar 20,00 com notas de 10 e 20:
São 2 opções: 1 de 20 ou 2 de 10.
Verificamos que o número de casos possíveis é 7 + 4 + 2 = 13
Para contarmos o número de casos favoráveis, devemos considerar as opções onde ele tem pelo menos duas notas de 50, ou seja, 4 + 2 = 6.
Probabilidade = 6/13
Resposta: D
Questão 2 (BB – Cesgranrio). Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?
(A) 1/8
(B) 1/4
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 3/4
Resolução:
Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1)
Segunda jogada: só serve o resultado que não aconteceu da primeira vez (probabilidade igual a ½)
Terceira jogada: só serve o mesmo resultado que aconteceu na segunda jogada (probabilidade igual a ½)
Logo: 1 x ½ x ½ = ¼
Resposta: B
Questão 3 (BB – FCC). Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados é igual a:
(A) 5/14
(B) 3/7.
(C) 4/7.
(D) 9/14.
(E) 5/7
Resolução:
Dica: Quando aparecer na questão “pelo menos um”, devemos encontrar a probabilidade de não acontecer nenhum, ou seja, de não termos brasileiros no pódio, e depois diminuirmos de 1.
Probabilidades:
De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4
De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7 (desconsideramos a medalha de ouro)
De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3 (desconsideramos as medalhas de ouro ou prata)
Então:
P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 5/14
P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14
Resposta: D
Questão 4 (BB – Cesgranrio). Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é
Resolução:
Sejam os eventos:
A = Selecionar amarelas
B = Selecionar azuis
C = Selecionar verdes
Queremos calcular a probabilidade de selecionarmos pelo menos uma bola de cada cor, ou seja, P(A∩B∩C).
Veja no diagrama ao lado que P(A∩B∩C) = P(A∪B∪C) – P(A∪B) – P(A∪C) – P(B∪C) + P(A) + P(B) + P(C)
Temos que:
Resposta: A
Questão 5 (TRT – CESPE). Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação.
Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados.
Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue os itens a e b que se seguem.
a) Se um dos bacharéis em direito do estado do Espírito Santo inscritos no primeiro exame da OAB, em 2007, fosse escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele não ter sido um dos aprovados no exame seria superior a 70% e inferior a 80%.
Inscritos: 1472
Reprovados: 1472 – 313 = 1159
1159/1472 = 0,787 = 78,7%
Resposta: CERTO
b) Considerando que, na primeira fase do exame da OAB de 2008, 87,21% dos bacharéis em direito da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) tenham sido aprovados, a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFPE que fizeram esse exame será maior que a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFES e que também fizeram o exame da OAB.
Probabilidade de se escolher um aprovado entre os alunos da UFPE: 87,21%
Probabilidade de se escolher um aprovado entre os alunos da UFES: 39/44 = 0,8864 = 88,64%
Resposta: ERRADO
Questão 6 (Caixa – CESPE). Leia o texto e as figuras abaixo e analise a veracidade das afirmações a e b.
Conheça o título de pagamento único CAIXACAP DA SORTE, da CAIXA CAPITALIZAÇÃO, e dê mais chances à sua sorte. Você escolhe o valor que quer investir, de R$ 200,00 a R$ 900,00, múltiplos de R$ 100,00, paga uma única vez e concorre, todo mês, a 54 prêmios de até R$ 700 mil. E, ao final do prazo de capitalização, você recebe 100% do valor guardado, atualizado pela taxa referencial de juros (TR). Além dos sorteios mensais, tem o sorteio nos meses de julho durante a vigência do título, com premiação em dobro: serão 2 clientes contemplados com o prêmio de até R$ 700 mil. Além de tudo isso, em julho de 2007 ocorrerá o sorteio especial, quando você concorrerá durante 1 semana a 7 prêmios, um por dia, de até R$ 1 milhão, como mostra a tabela abaixo. Os sorteios serão realizados pela Loteria Federal do Brasil, sempre no último sábado de cada mês. Se você for sorteado, continua concorrendo, exceto ao sorteio especial, realizado em julho de 2007.
a) A probabilidade de um detentor de um título CAIXACAP DA SORTE ser sorteado durante a vigência do título é igual a 1/(36×54), independentemente do número total de detentores desses títulos.
Resolução
A probabilidade sempre depende da quantidade de concorrentes.
Resposta: ERRADO
b) Ao longo dos 36 meses de capitalização, o detentor de um único título CAIXACAP DA SORTE tem a possibilidade de ganhar no máximo R$ 1 milhão.
Resolução
O texto nos diz que o ganhador continua concorrendo, exceto pelo prêmio especial. Para provarmos que o enunciado está errado, basta imaginarmos um sortudo que ganhe 10 vezes o prêmio principal mensal.
Resposta: ERRADO
Questão 7 (PM PE – IAUPE). Dos 500 aprovados em um concurso, 205 falam inglês, 210, espanhol, e 65, ambos os idiomas. Escolhendo ao acaso um dos aprovados, qual a probabilidade de ele não falar nenhum desses idiomas?
a) 40%
b) 25%
c) 30%
d) 45%
e) 35%
Resolução
Total de alunos que falam algum idioma:
205 + 210 – 65 = 350
Veja que subtraímos os 65 alunos que falam os dois idiomas e estavam sendo contados duas vezes quando consideramos os 205 que falam inglês e os 210 que falam espanhol.
Total de estudantes que não falam nenhum idioma:
500 – 350 = 150
Probabilidade do estudante não falar nenhum idioma:
150/500 = 0,3 = 30%
Resposta: C
Questão 8 (Terezina – NUCEPE). Uma caixa contém 8 bolas verdes, 6 bolas amarelas, 4 bolas azuis e 2 bolas vermelhas. Qual a probabilidade, de alguém, sem olhar, tirar dessa caixa uma bola azul?
a) 10%.
b) 20%.
c) 40%.
d) 50%.
e) 100%.
Resolução
Observe que a caixa possui 4 bolas azuis e um total de 20 bolas.
A probabilidade de sair uma bola azul é:
4/20 = 0,2 = 20%
Resposta: B
Questão 9 (PC Pará – AOCP). Um grupo composto por cinco peritos, escolhidos entre sete possíveis peritos, deve ser formado para determinada investigação. Sabe-se que um dos possíveis peritos é do sexo masculino e os demais são do sexo feminino. A probabilidade de que esse grupo seja formado somente com peritos do sexo feminino é igual a
(A) 2/7 .
(B) 1/5 .
(C) 1/9 .
(D) 4/7 .
(E) 2/5 .
Resolução
O total de grupos de 5 pessoas formados a partir de 7 é o total de combinações de 7 elementos, tomados 5 a 5:
C(7,5) = 7×6/2×1 = 21
O total de grupos de 5 mulheres a partir de 6 disponíveis é o total de combinações de 6 elementos, tomados 5 a 5:
C(6,5) = 6
Calculando a probabilidade:
6/21 = 2/7
Resposta: A
Espero que todos tenham curtido nossos exercícios resolvidos sobre probabilidade.
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