Estudando matemática para concursos? Confira aqui tudo o que você precisa saber sobre o Binômio de Newton.
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Bom estudo!
DEFINIÇÃO
O Binômio de Newton é uma ferramenta da matemática utilizada no desenvolvimento de potências do tipo (a + b)n, com a e b reais e n natural. Ele recebeu este nome em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton.
Para entendermos melhor como funciona, analisaremos primeiramente alguns casos onde o expoente n é relativamente pequeno:
- Expoente n = 2
(a + b)² = (a + b).(a + b)
(a + b)² = a² + ab + ba + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
- Expoente n = 3
(a + b)3 = (a + b)2 . (a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2) . (a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- Expoente n ≥ 4
Quando o expoente n assume valor maior ou igual a 4, o cálculo através das potências não é mais aconselhável.
Nestes casos, a utilização do Binômio de Newton facilita o cálculo e economiza tempo.
Veremos abaixo a expressão matemática conhecida como Fórmula do Binômio de Newton.
FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON
Observe que a letra grega sigma (Σ) representa o somatório de p=0 até p=n. Veja:
Os coeficientes em destaque são chamados de coeficientes binominais e são definidos como:
Em análise combinatória, podemos dizer que o coeficiente é a quantidade de combinações de n elementos, tomados p a p.
Também podemos descobrir o valor dos coeficientes através do Triângulo de Pascal, onde n representa a linha n+1 e p representa o número da coluna.
Exemplo: Desenvolver o binômio de Newton para n = 4.
Observe no triângulo de Pascal abaixo que os coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 foram retirados da quinta linha do triângulo de Pascal.
TRIÂNGULO DE PASCAL E O BINÔMIO DE NEWTON
Observe abaixo como o Binômio de Newton deixe de ser um “bicho de sete cabeças” quando o comparamos com o Triângulo de Pascal.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²
(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³
(a + b)4 = 1a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b4
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + 1b5
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