Confira aqui como é calculado o ângulo entre duas retas concorrentes no plano cartesiano.
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Bom estudo!
Sejam r e s duas retas distintas e concorrentes, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. Veremos abaixo como determinar o ângulo agudo entre as retas, simbolizado por θ.
Considere que as equações reduzidas das retas r e s são:
r: y = m1.x + n1
s: y = m2.x + n2
Sendo m1 e m2 os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente, podemos calcular o ângulo θ através da fórmula abaixo:
Pela fórmula é possível observar que:
- Se as retas forem paralelas, teremos m2 – m1 = 0, e θ = 0º.
- Se as retas forem perpendiculares, teremos m2.m1 = -1, fazendo com que o denominador seja igual a zero. Por isso a restrição quanto às retas serem perpendiculares.
Caso Especial
Quando estudamos a equação geral da reta vimos que uma reta pode ser vertical. Neste caso, quando uma das retas for vertical e a outra oblíqua, podemos calcular o ângulo θ formado entre elas através da seguinte fórmula:
Neste caso, m é o coeficiente angular da reta que não é vertical.
Exemplo 1. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = 3x + 1 e s: y = -2x – 1.
Sendo θ o ângulo agudo formado pelas retas r e s, e observando nas equações reduzidas que os coeficientes angulares de r e s são, respectivamente, 3 e -2, temos:
Como θ é um ângulo agudo e tgθ = 1, temos que θ = 45º.
Exemplo 2. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = 2x e s: y = -x + 6.
Temos que os coeficientes das retas r e s são, respectivamente, 2 e -1.
Sendo θ o ângulo agudo entre r e s, temos:
Portanto, θ = arctg3, onde 0º < θ < 90º.
Exemplo 3. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = -x + 2 e s: x = 3.
Trata-se de um caso especial pois a reta s é vertical.
É possível observar também que o coeficiente angular da reta r é -1.
Daí, θ = 45º.
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